Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника


Векторная функция скалярного аргумента. Кривая, как годограф векторной функции.




 

Пусть – связное множество точек на прямой : сегмент, полусегмент, интервал, полуинтервал или даже вся прямая.

Будем считать, что на множестве задана векторная функция скалярного аргумента t, если каждому значению по определенному правилу ставится в соответствие вектор . Если откладывать все векторы от начала координат, то при непрерывном изменении параметра t конец вектора опишет некоторое множество точек пространства, которое называют годографом векторной функции.

Пусть – векторная функция скалярного аргумента. Введем в пространстве прямоугольную декартову систему координат. Тогда вектор может быть разложен по базисным векторам , и его координаты так же являются функциями параметра t. Обозначим их , то есть . Эти скалярные функции называются координатными функциями векторной функции скалярного аргумента.

Отметим, что задание векторной функции скалярного аргумента равносильно заданию ее координатных функций.

 
Для векторных функций скалярного аргумента, по аналогии со скалярными функциями, вводятся все основные понятия математического анализа, используемые при исследовании функций. Остановимся на некоторых из них, необходимых нам в дальнейшем. Это понятия предела, непрерывности, производной функции, определенного интеграла.

Определение. Вектор называется пределом векторной функции , при (в точке ), если , такое, что для всех значений аргумента, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Обозначение: или .

Функция называется непрерывной в точке , если . Векторная функция непрерывна на множестве , если она непрерывна в каждой его точке.

Можно доказать, что если , то все координатные функции имеют пределы, при , равные соответствующим координатам вектора . Кроме этого из непрерывности функции следует непрерывность координатных функций. Верно и обратное.

Поэтому для векторных функций имеют место теоремы о пределе, свойства пределов, свойства непрерывных функций, аналогичные теоремам и свойствам для скалярных функций. Более того, они являются простыми следствиями соответствующих теорем для скалярных функций.

Рассмотрим, наиболее часто используемые в изложении, понятия производной и определенного интеграла векторной функции скалярного аргумента.

Определение. Функция имеет производную в точке t, если существует предел отношения

при .

Обозначение: .

Пусть – координатные функции векторной функции , тогда, если имеет производную, то и каждая из координатных функций также имеет производную. Верно и обратное: из дифференцируемости координатных функций следует дифференцируемость векторной функции и .

Если – дифференцируемые в точке t векторные функции, а – дифференцируемая в этой же точке скалярная функция, то функции , , , суть функции, дифференцируемые в точке t, причем

,

,

,

.

Отметим, что, если const, то . Действительно, так как const, то, дифференцируя это равенство по t, получим .

Производная от функции называется второй производной от функции и обозначается . Аналогично определяется третья, четвертая и т. д. производные. При этом, .

Для векторной функции имеет место формула Тейлора. Именно, если для функции существуют и непрерывны все производные до -го порядка включительно, то

Отметим, что эта формула получается из разложения в ряд Тейлора координатных функций, умножением на орты и последующим суммированием.

Понятие интеграла в смысле Римана для векторной функции вводится буквально так же, как для скалярной функции. Обозначение: .

Интеграл векторной функции обладает обычными свойствами. Отметим некоторые из них:

1. .

2. .

3. .

4. где =const.

5. Если =const,то , .

6. .

7. .

8. Формула Ньютона-Лейбница , где .

Кривая как годограф векторной функции. Пусть задана векторная функция . Если различным значениям t соответствуют различные векторы , то годограф векторной функции – простая кривая. При этом уравнение называется векторным уравнением кривой, а радиус-вектором точки кривой.

Отметим, что параметрическое задание кривой эквивалентно заданию её с помощью одного векторного уравнения . Поэтому, легко получить определения регулярной кривой, особой точки для векторного задания кривой. Так, кривая – регулярная, если функция – регулярная. Точка на кривой является особой, если , т. е. .



Поделиться:

Дата добавления: 2015-09-14; просмотров: 107; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2024 год. (0.006 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты