Векторная функция скалярного аргумента. Кривая, как годограф векторной функции.

Пусть – связное множество точек на прямой : сегмент, полусегмент, интервал, полуинтервал или даже вся прямая.

Будем считать, что на множестве задана векторная функция скалярного аргумента t, если каждому значению по определенному правилу ставится в соответствие вектор . Если откладывать все векторы от начала координат, то при непрерывном изменении параметра t конец вектора опишет некоторое множество точек пространства, которое называют годографом векторной функции.

Пусть – векторная функция скалярного аргумента. Введем в пространстве прямоугольную декартову систему координат. Тогда вектор может быть разложен по базисным векторам , и его координаты так же являются функциями параметра t. Обозначим их , то есть . Эти скалярные функции называются координатными функциями векторной функции скалярного аргумента.

Отметим, что задание векторной функции скалярного аргумента равносильно заданию ее координатных функций.

Определение. Вектор называется пределом векторной функции , при (в точке ), если , такое, что для всех значений аргумента, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Обозначение: или .

Функция называется непрерывной в точке , если . Векторная функция непрерывна на множестве , если она непрерывна в каждой его точке.

Можно доказать, что если , то все координатные функции имеют пределы, при , равные соответствующим координатам вектора . Кроме этого из непрерывности функции следует непрерывность координатных функций. Верно и обратное.

Поэтому для векторных функций имеют место теоремы о пределе, свойства пределов, свойства непрерывных функций, аналогичные теоремам и свойствам для скалярных функций. Более того, они являются простыми следствиями соответствующих теорем для скалярных функций.

Рассмотрим, наиболее часто используемые в изложении, понятия производной и определенного интеграла векторной функции скалярного аргумента.

Определение. Функция имеет производную в точке t, если существует предел отношения

при .

Обозначение: .

Пусть – координатные функции векторной функции , тогда, если имеет производную, то и каждая из координатных функций также имеет производную. Верно и обратное: из дифференцируемости координатных функций следует дифференцируемость векторной функции и .

Если – дифференцируемые в точке t векторные функции, а – дифференцируемая в этой же точке скалярная функция, то функции , , , суть функции, дифференцируемые в точке t, причем

,

,

,

.

Отметим, что, если const, то . Действительно, так как const, то, дифференцируя это равенство по t, получим .

Производная от функции называется второй производной от функции и обозначается . Аналогично определяется третья, четвертая и т. д. производные. При этом, .

Для векторной функции имеет место формула Тейлора. Именно, если для функции существуют и непрерывны все производные до -го порядка включительно, то

Отметим, что эта формула получается из разложения в ряд Тейлора координатных функций, умножением на орты и последующим суммированием.

Понятие интеграла в смысле Римана для векторной функции вводится буквально так же, как для скалярной функции. Обозначение: .

Интеграл векторной функции обладает обычными свойствами. Отметим некоторые из них:

1. .

2. .

3. .

4. где =const.

5. Если =const,то , .

6. .

7. .

8. Формула Ньютона-Лейбница , где .

Кривая как годограф векторной функции. Пусть задана векторная функция . Если различным значениям t соответствуют различные векторы , то годограф векторной функции – простая кривая. При этом уравнение называется векторным уравнением кривой, а – радиус-вектором точки кривой.

Отметим, что параметрическое задание кривой эквивалентно заданию её с помощью одного векторного уравнения . Поэтому, легко получить определения регулярной кривой, особой точки для векторного задания кривой. Так, кривая – регулярная, если функция – регулярная. Точка на кривой является особой, если , т. е. .