Понятие кривой. Элементарная кривая. Простая кривая. Общая кривая.

Дифференциальная геометрия – разветвленная и глубокая область математики, значение которой со временем возрастает, начинается с теории кривых. Это ее исток. Именно в теории кривых впервые в дифференциальной геометрии даются точные определения и понятия, вводятся инвариантные геометрические характеристики поведения кривых, именно здесь вырабатывается первоначальная геометрическая интуиция, которая затем развивается и углубляется при изучении поверхностей и многообразий.

В настоящих лекциях мы излагаем общую теорию кривых на достаточно простом и доступном, как нам кажется языке

Понятие кривой является одним из основных в дифференциальной геометрии. Первоначально этому понятию не давалось точного математического определения. Евклид называет линией длину без ширины или границу поверхности. В древние времена были найдены многие интересные кривые, но представление об общем виде кривой оставались на наглядном уровне. Предложенный Декартом метод координат впервые позволил сформулировать понятие кривой в достаточно общей форме. Так, плоской кривой стали называть множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют некоторому уравнению. Из механики возникло представление о кривой как о траектории движущейся точки с координатами, зависящими от времени. Жордан дал определение кривой как образа непрерывного отображения отрезка в пространство. Это определение казалось вполне соответствующим наглядному представлению о кривой, но в 1890 году Пеано построил такое непрерывное отображение отрезка, образом которого является целый квадрат на плоскости. В 1897 году Клейн писал: "Что такое произвольная кривая, произвольная поверхность?… Можно сказать, что с математической точки зрения в настоящее время нет ничего темнее и неопределеннее, чем упомянутое понятие. То, что мы в эмпирическом представлении называем кривой, есть, прежде всего полоса, т.е. часть пространства, в которой перед размерами длины отступают прочие измерения…. Но если кривая должна стать предметом точного математического рассмотрения, то мы должны ее идеализировать точно так же, как это бывает повсюду в начале геометрии с точкой. И здесь-то начинаются трудности…". В дифференциальной геометрии обычно используется определение кривой, данное Жорданом, но несколько видоизмененное. Также поступим и мы в настоящем параграфе, рассмотрев при этом понятие кривой в той мере, в какой этого требует дальнейшее изложение. Определению понятия кривой мы предпошлём некоторые сведения об отображениях произвольного множества точек в пространство.

Пусть – любое множество точек пространства. Говорят, что задано отображение множества в пространство, если каждой точке множества поставлена в соответствие некоторая точка пространства. Точка пространства называется образом точки . Множество точек пространства , которое составлено из образов всех точек множества , называется образом множества .

Отображение множества называется взаимно однозначным, если образы различных точек различны. Если – взаимно однозначное отображение, то естественным образом определено отображение множества , которое точке сопоставляет точку . Это отображение называется обратным к отображению .

Отображение множества называется непрерывным, если какова бы ни была точка и число , существует число такое, что для любой точки из множества расстояние точки от точки меньше , коль скоро расстояние от точки до точки меньше .

Пусть – взаимно однозначное и непрерывное отображение множества M. Если отображение множества также непрерывно, то называют топологическим отображением или гомеоморфизмом.

При этом относительно множества и его образа при топологическом отображении говорят, что они гомеоморфные или топологически эквивалентные.

Определение понятия кривой проведем последующей схеме: первоначально определим элементарную кривую, затем, используя это понятие, определим простую кривую, и, наконец, общую кривую. При этом покажем, что исследование любой кривой «в малом» может быть сведено к рассмотрению элементарной кривой.

Итак, определим элементарную кривую.

Определение. Множество точек пространства будем называть элементарной кривой, если это множество является образом открытого отрезка прямой при топологическом отображении его в пространство.

Множество точек пространства называется открытым, если для каждой точки можно указать число такое, что все точки пространства, расстояния которых от точки меньше , тоже принадлежат . Очевидно, множество, составленное из любой совокупности открытых множеств – открытое.

Окрестностью точки пространства называется любое открытое множество, содержащее эту точку.

Множество точек пространства называется связным, если не существует открытых множеств и , разбивающих множество на две части – и , одна из которых принадлежала бы только , а другая – только .

Определим теперь простую кривую.

Определение. Множество точек пространства будем называть простой кривой, если это множество связно и у каждой его точки есть такая окрестность, что расположенная в ней часть является элементарной кривой.

Общую часть кривой и некоторой пространственной окрестности точки будем называть окрестностью точки на простой кривой. Таким образом, согласно данному определению, у каждой точки простой кривой есть окрестность, являющаяся элементарной кривой. В дальнейшем, говоря об окрестностях на кривой, мы будем иметь в виду такую элементарную окрестность (рис. 1).

Строение простой кривой «в целом» выясняется следующей теоремой, которую мы приведем без доказательства.

Теорема. Образ открытого отрезка или окружности при топологическом отображении в пространство есть простая кривая.

Обратно, любая простая кривая есть образ открытого отрезка или окружности при топологическом отображении в пространство.

Коротко это выражается словами: простая кривая гомеоморфна или открытому отрезку, или окружности.

С топологической (геометрической) точки зрения это означает, что указанное в теореме свойство простой кривой полностью характеризует ее и, следовательно, простая кривая может быть определена этим свойством.

Простая кривая, гомеоморфная окружности, называется замкнутой.

Пусть простая кривая является образом открытого отрезка или окружности при топологическом отображении . Пусть и – её любая окрестность. Тогда образ при отображении является окрестностью точки на кривой . Обратно, любая окрестность на кривой может быть получена таким образом.

Отображение множества в пространство называется локально топологическим, если у каждой точки этого множества есть окрестность, в которой отображение топологическое.

Определим общую кривую.

Определение. Множество точек пространства будем называть общей кривой, если это множества является образом простой кривой при локально топологическом отображении её в пространство.

При этом будем считать, что отображение простой кривой и отображение простой кривой определяют одну и ту же общую кривую , если между точками кривых и может быть установлено топологическое соответствие, при котором образы соответствующих точек этих кривых на кривой совпадают.

Пусть общая кривая является образом при локально топологическом отображении в пространство простой кривой . Окрестностью точки на кривой мы будем называть образ любой окрестности точки на кривой при отображении . Так как отображение в достаточно малой окрестности точки является топологическим, то на кривой имеет окрестность, являющуюся элементарной кривой.

Таким образом, исследование любой кривой «в малом» может быть сведено к рассмотрению элементарной кривой.

§2. Регулярная кривая. Способы аналитического задания кривой.

Пусть – элементарная кривая и – отрезок, образом которого при отображении является кривая . Тогда точке на отрезке соответствует некоторая точка пространства . Введем в пространстве прямоугольную декартову систему координат и пусть – координаты точки в пространстве. Естественно, что изменению значений соответствует изменение точки , а, следовательно, и изменение её координат . Таким образом, координаты точки кривой являются функциями аргумента . Обозначим их .

Определение.Систему равенств

называют уравнениями кривой в параметрической форме.

Переменная называется параметром, функции – координатными функциями кривой .

Существуют различные параметризации одной и той же элементарной кривой. Действительно, если интервал (a, b) взаимно однозначно и непрерывно отображается на другой интервал (c, d), каждой точке которого ставится в соответствие некоторое число , то можно считать, что является монотонной функцией от : . В этом случае на кривой можно определить новый параметр , определенный на (c, d):

.

Элементарная кривая может иметь довольно сложное строение. Например, проекция элементарной кривой на плоскость может оказаться кривой Пеано и, следовательно, может покрыть квадрат.

Кривая называется плоской, если все её точки принадлежат некоторой плоскости. Обычно считают, что этой плоскостью является координатная плоскость . Тогда её параметрические уравнения имеют вид

.

Примером простой плоской кривой может служить график непрерывной на сегменте функции . Такое задание кривой называется явным заданием плоской кривой. График этой функции есть множество точек плоскости с координатами (параметрические уравнения той же кривой). Отметим, что не все кривые допускают явное задание.

Замечания. 1. В -мерном евклидовом пространстве кривая может быть определена системой уравнений

где – непрерывные функции на некотором связном множестве .

2. До сих пор мы рассматривали кривую, как множество точек или фигуру на плоскости или в пространстве. При параметризации кривой параметр играет роль координаты в этом множестве. Возможен и другой взгляд на кривую – как на траекторию движущейся материальной точки. Здесь параметр играет роль времени, прошедшего с начала движения. Этот подход позволяет использовать в геометрии такие понятия из механики как скорость, ускорение, путь и т. д.

Определение.Кривую будем называть регулярной ( раз непрерывно дифференцируемой), если у каждой точки этой кривой есть окрестность, допускающая регулярную параметризацию, то есть задание уравнениями в параметрической форме , где – регулярные ( раз непрерывно дифференцируемые) функции, и в этой окрестности .

Отметим, что в определении слова "допускает параметризацию" означают, что существует, по крайней мере, одна такая параметризация. Например, кривая задана уравнениями: . Тогда и . Но это не означает, что кривая не регулярная. Действительно, введем новый параметр . Кривая тогда задается уравнениями и для любого . Таким образом, кривая регулярная.

Заметим, что если существует какая-нибудь регулярная параметризация кривой, то их существует бесконечно много.

Позднее мы обоснуем, что условие в определении регулярной кривой существенно для того, чтобы оно соответствовало наглядному представлению о регулярной кривой.

При кривая называется гладкой.

Кривая называется аналитической, если в окрестности каждой своей точки допускает аналитическую параметризацию (функции – аналитические).

В дальнейшем мы будем рассматривать исключительно регулярные кривые.

Естественно, возникает вопрос: когда произвольная система равенств определяет регулярную кривую, то есть когда эти равенства можно рассматривать как уравнения некоторой кривой?

Ответ на этот вопрос во многих случаях даёт следующая

Теорема. Если – регулярные функции, удовлетворяющие условию

,

то система равенств

является уравнениями некоторой кривой . Эта кривая есть образ отрезка при локально топологическом отображении, которое точке отрезка сопоставляет точку пространства с координатами .

Точку на кривой будем называть особой, если в этой точке.

Некоторые кривые при подходящем выборе осей координат допускают параметризацию или . Эта параметризация во многих случаях оказывается особенно удобной. Ее будем называть явным заданием пространственной кривой.

Теорема. Пусть – регулярная кривая, – её регулярная параметризация в окрестности точки , соответствующей значению параметра . Пусть в этой точке . Тогда в достаточно малой окрестности кривая может быть задана уравнениями , где и – регулярные функции аргумента .

Рассмотрим теперь неявное задание кривой.

Будем говорить, что плоская кривая задана уравнением

,

если координаты точек кривой удовлетворяют данному уравнению. При этом могут существовать точки плоскости, удовлетворяющие этому уравнению и не принадлежащие кривой, а множество всех точек плоскости, удовлетворяющих уравнению , может не быть кривой, в смысле данных определений. Такое задание кривой будем называть неявным заданием плоской кривой. В связи с заданием кривых в неявном виде важную роль играет следующая теорема.

Теорема. Пусть – регулярная функция переменных . Пусть – множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению

;

– точка этого множества, в которой . Тогда у точки есть окрестность, что все принадлежащие ей точки множества образуют регулярную кривую.

Пусть в пространстве заданы две поверхности и с уравнениями и соответственно.

Тогда систему

можно рассматривать, как уравнения линии пересечения этих поверхностей. Это задание кривой будем называть неявным заданием пространственной кривой.

Теорема. Пусть и – регулярные функции переменных . Пусть – множество точек пространства, удовлетворяющих уравнениям

;
– точка этого множества, в которой ранг матрицы

равен двум. Тогда у точки есть такая окрестность, что все принадлежащие ей точки множества образуют регулярную элементарную кривую.