Касательная кривой. Теорема о касательной.

Пусть – кривая, – точка на ней и – прямая, проходящая через точку . Возьмём на кривой точку и обозначим её расстояние от точки и прямой через и соответственно.

Определение. Прямая называется касательной к кривой в точке , если , когда .

Если кривая в точке имеет касательную, то прямая при сходится к этой касательной. Обратно, если прямая при сходится к некоторой прямой , то эта прямая является касательной. Для доказательства этого утверждения достаточно заметить, что отношение есть синус угла между прямыми и , а он для достаточно малых углов может быть заменён этим углом. Следовательно, если при отношение , то угол между прямыми и также стремится к нулю, то есть сходится к касательной.

Теорема. Гладкая кривая без особых точек имеет в каждой точке касательную и притом единственную.

Если

векторное уравнение кривой, то касательная в точке , соответствующей значению параметра , параллельна вектору .

Доказательство. Пусть – гладкая параметризация кривой в окрестности точки , соответствующей значению параметра .

Доказательство теоремы проведем в два этапа:

1. Предполагая, что касательная в точке существует, докажем, что она параллельна вектору .

2. Докажем, что всякая прямая, проходящая через точку параллельно вектору , является касательной.

Итак, допустим, что кривая в точке имеет касательную и пусть – единичный направляющий вектор касательной .

Расстояние d точки , соответствующей значению параметра , от точки равно

.

Найдем . Это высота параллелограмма построенного на векторах и , проведенная к основанию . Следовательно, равно площади S параллелограмма, деленной на длину основания :

, так как .

По определению касательной

, при .

Но

, при .

Таким образом, так как , то . А это возможно только тогда, когда вектор имеет направление вектора . Следовательно, если касательная существует, она параллельна вектору и, так как он ненулевой, то единственна.

Докажем обратное. Пусть – произвольная прямая, проходящая через точку с направляющим вектором . Как показывают предыдущие выкладки, для прямой

при .

Следовательно, прямая – касательная к кривой .

Теорема доказана полностью.

Зная направляющий вектор касательной, нетрудно составить её уравнение. Действительно, если кривая задана векторным уравнением , то векторное уравнение касательной можно записать так:

, где – параметр.

Выведем уравнение касательной для различных случаев аналитического задания кривой .

1. Пространственная кривая задана параметрическими уравнениями и точка . Тогда уравнения касательной к кривой в точке P имеют вид:

или

.

Если кривая плоская, уравнение ее касательной запишется так:

.

2. Кривая задана уравнениями . Тогда уравнения касательной примет вид

, где – координаты точки P. В частности, если кривая плоская и задана уравнением , то уравнение касательной к ней будет .

3. Составим уравнение касательной к кривой , заданной неявными уравнениями в точке . Пусть – какая-нибудь регулярная параметризация кривой в окрестности точки P. Тогда имеем тождества

.

Дифференцируя эти тождества по t, получим систему двух однородных линейных уравнений относительно трех неизвестных , :

,

.

Следовательно, векторы и коллинеарные; здесь ={ }, { }, { }. Отсюда

и уравнение касательной примет вид

,

где все производные вычислены в точке касания .

Если кривая плоская и задана уравнением , то уравнение касательной будет

.

Определение. Нормальной плоскостью кривой в точке P называется плоскость, проходящая через точку P перпендикулярно касательной в этой точке.

Составить уравнение этой плоскости после того, как известно уравнение касательной для любого случая аналитического задания кривой, не составляет особого труда и предлагается в качестве легкого упражнения.