Соприкасающаяся плоскость кривой. Главная нормаль и бинормаль кривой. Репер Френе.

Пусть – кривая и – точка на ней, – плоскость, проходящая через точку . Обозначим через расстояние от произвольной точки кривой до плоскости и – расстояние этой точки от точки .

Определение. Плоскость называется соприкасающейся плоскостью кривой в точке , если , когда .

Теорема. Регулярная (по крайней мере, дважды непрерывно дифференцируемая) кривая в каждой точке имеет соприкасающуюся плоскость. При этом соприкасающаяся плоскость либо единственна, либо любая плоскость, содержащая касательную к кривой, является соприкасающейся. Если

уравнение кривой , то соприкасающаяся плоскость в точке, соответствующей значению параметра , параллельна векторам и .

Доказательство. Доказательство будем проводить по той же схеме, что и доказательство теоремы о касательной.

Пусть кривая имеет в точке соприкасающуюся плоскость . Обозначим через единичный вектор нормали этой плоскости; точка соответствует значению параметра . Тогда

,

и

(это проекция вектора на направление единичного вектора ).

Имеем

.

Разложим функцию в ряд Тейлора, а затем разделив числитель и знаменатель дроби на получим

.

Так как ®0, при а , то =0 и =0. Таким образом, если соприкасающаяся плоскость существуют, то векторы и параллельны ей.

Теперь убедимся в том, что соприкасающаяся плоскость всегда существует.

Для этого возьмём плоскость параллельную векторам и , проходящую через точку (если – нулевой вектор, то считаем любую плоскость ему параллельной).

Тогда, как и ранее, получим

.

Но =0 и =0. Следовательно

= при

Таким образом, в каждой точке существует соприкасающаяся плоскость. Естественно, что эта плоскость будет единственной, если и не параллельны. Если же они параллельны (или ), то любая плоскость, содержащая касательную, будет соприкасающейся плоскостью кривой.

Теорема доказана.

Отметим, что соприкасающейся плоскости кривой можно придать и механический смысл. Параметрическое, (а, следовательно, и векторное) задание кривой можно рассматривать как закон движения материальной точки по траектории . Тогда – это вектор скорости движущейся точки, а – вектор её ускорения. Эти векторы расположены в соприкасающейся плоскости. При этом, так как определение соприкасающейся плоскости не зависит от выбора параметризации (т.е. от закона движения точки по траектории ), то эту плоскость можно рассматривать как плоскость ускорений. Таким образом, при любом законе движения точки по кривой , вектор её ускорения всегда расположен в одной и той же плоскости – соприкасающейся плоскости кривой в точке .

Составим уравнение соприкасающейся плоскости. Необходимо найти уравнение плоскости, проходящей через заданную точку , параллельную двум неколлинеарным векторам и . Тогда вектор будет вектором нормали соприкасающейся плоскости.

Если – уравнение кривой, – значение параметра, соответствующее точке , , , , то получаем уравнение соприкасающейся плоскости в виде

Вывод уравнений соприкасающейся плоскости для других случаев аналитического задания кривой предлагается в качестве упражнения.

Пусть – регулярная (дважды непрерывно дифференцируемая) кривая; – произвольная точка кривой. Проведем в точке касательную к кривой ( – единичный направляющий вектор касательной) и соприкасающуюся плоскость. Напомним, что плоскость, проходящую через точку перпендикулярно касательной в этой точке, называется нормальной плоскостью.

Всякую прямую, проходящую через точку и лежащую в нормальной плоскости, будем называть нормалью кривой . Если соприкасающаяся плоскость единственная, то среди всех нормалей выделяют две замечательные.

1. Нормаль, лежащую в соприкасающейся плоскости. Ее называют главной нормалью кривой; – единичный направляющий вектор главной нормали.

2. Нормаль, перпендикулярную соприкасающейся плоскости. Она называется бинормалью; – единичный направляющий вектор бинормали.

Таким образом, в точке всегда можно построить три единичных, взаимно перпендикулярных вектора .

Ориентация этих векторов обычно выбирается так. Вектор имеет направление вектора . Вектор лежит в той полуплоскости соприкасающейся плоскости (с границей по касательной), где лежит вектор . Направление вектора выбирается так, чтобы тройка векторов была правой. (Впрочем, в зависимости от рассматриваемой задачи, эта ориентация может быть и другой).

Построенную тройку векторов будем называть репером Френе.

Нормальная плоскость содержит вектора , соприкасающаяся плоскость – вектора . Плоскость, содержащую вектора , будем называть спрямляющей плоскостью. Эти три взаимно перпендикулярные плоскости образуют трехгранный угол, ребрами которого являются нормаль, бинормаль и касательная. Его называют естественным трёхгранником, сопровождающим трёхгранником, трёхгранником Френе или основным триэдром.

При исследовании кривых в окрестности произвольной точки во многих случаях оказывается удобным выбрать декартову систему координат, приняв точку кривой за начало координат, а ребра естественного трёхгранника – за оси координат. В дальнейшем мы получим уравнение кривой при таком выборе системы координат.