Кручение кривой.

Пусть – произвольная точка кривой и – близкая к ней точка. Обозначим через – угол между соприкасающимися плоскостями кривой в этих точках, а через – длину дуги кривой.

Определение. Абсолютным кручением кривой в точке называется предел отношения , когда .

Абсолютное кручение часто называют второй кривизной кривой. Кручение – неотрицательное число, если вычисляется в заданной точке, и неотрицательная функция, если в произвольной.

Теорема. Регулярная (трижды непрерывно дифференцируемая) кривая в каждой точке, где кривизна отлична от нуля, имеет определённое абсолютное кручение .

Если – естественная параметризация кривой, то

.

Если же – произвольная параметризация, то

.

Доказательство.Пусть – естественная параметризация кривой; – произвольная точка кривой, соответствующая значению параметра s, где кривизна отлична от нуля. Тогда по непрерывности она отлична от нуля и в некоторой окрестности этой точки. В каждой точке этой окрестности векторы и отличны от нуля и не параллельны. Поэтому в каждой точке , соответствующей значению параметра , из этой окрестности существует единственная соприкасающаяся плоскость.

Пусть и – единичные векторы бинормалей кривой в точках P и Q. Тогда угол равен углу между этими векторами и (аналогично доказательству теоремы о кривизне, см. § 7). Поэтому

.

Отсюда, переходя к пределу при (точка ), получим

.

Вектор перпендикулярен , (т.к. ). Кроме того, так как , то (векторы и коллинеарные). Следовательно, вектор перпендикулярен . Таким образом, параллелен и, следовательно, вектору . Поэтому .

Так как , и , то

.

Получим теперь формулу для вычисления абсолютной кручения в случае произвольной параметризации кривой. Имеем:

, ,

, .

Следовательно, .