Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника


Эти соотношения называются формулами Френе.




Доказательство. Пусть кривая задана уравнением и . В §7 доказано, что во всех точках кривой, где кривизна отлична от нуля, единичный вектор главной нормали . Отсюда, так как , то .

В §8 доказано, что векторы и коллинеарные, и (см. доказательство теоремы о кручении). Таким образом, с точностью до направления, .

Для доказательства второй формулы заметим, что и . Воспользовавшись первой и третьей формулами Френе, получим .

Теорема доказана.

Замечание. Формулы Френе дают выражения первых производных векторов репера Френе. Но с их помощью можно найти выражения высших производных указанных векторов.

Существенно в этих формулах то, что полученные соотношения полностью определяются значениями кривизны и кручения кривой.

Отметим, что формулы Френе являются основным аналитическим аппаратом раздела теория кривых дифференциальной геометрии; их нужно твердо запомнить.

В качестве первого примера применения формул Френе рассмотрим вопрос о приближенном представлении кривой в окрестности ее произвольной точки .

Возьмем в качестве координатных осей декартовой системы координат с началом в точке ребра трехгранника Френе: ось X – касательная, ось Y – главная нормаль, ось Z – бинормаль.

Пусть кривая задаётся уравнением .

Разложим радиус-вектор по формуле Тейлора в окрестности начала координат. Имеем

, так как .

Но по формулам Френе , , . Тогда

= .

Теперь, сохраняя только главные члены этого разложения, получим для достаточно малых s.

Пусть кривизна и кручение кривой не равны нулю. Спроектируем кривую на координатные плоскости, т. е. на плоскости трехгранника Френе.

1. На соприкасающуюся плоскость, т. е. на плоскость .

Имеем , т. е. проекция близка к параболе .

2. На нормальную плоскость (плоскость ).

Так как и , то проекция близка к полукубической параболе .

 

3. На спрямляющую плоскость (плоскость XOZ).

Имеем . Проекция близка к кубической параболе .

 

Как видно из рассмотренной задачи, коэффициенты в разложении функции выражаются через функции и . Это даёт основание предполагать, что они определяют в какой-то мере кривую. И действительно имеет место теорема, которую часто называют основной теоремой теории кривых.

Теорема. Пусть и – две любые регулярные функции, причём . Тогда существует и притом единственная, с точностью до положения в пространстве, кривая, для которой является кривизной, а – кручением в точке, соответствующей дуге .

Доказательство. Если кривая, существование которой утверждается теоремой, действительно существует, то единичные векторы касательной , главной нормали и бинормали должны удовлетворять формулам Френе. Таким образом, для неизвестных функций , , , используя заданные функции и , построим следующую систему дифференциальных уравнений

(1)

,

(в силу формул Френе).

Естественно поэтому при отыскании интересующей нас кривой обратиться к решениям этой системы.

В качестве начальных условий для системы (1) выберем три единичные попарно ортогональные векторы , образующие правую тройку: , , . Тогда решение системы (1) должно удовлетворять начальным условиям:

. (2)

При сформулированных условиях согласно теореме существования и единственности решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений существует единственное решение , , системы (1), удовлетворяющее начальным условиям (2).

Докажем, что для любого s векторы , и единичные, попарно ортогональные и образуют правую тройку.

Для этого составим систему 6 линейных дифференциальных уравнений относительно 6 неизвестных скалярных функций следующим образом.

Условно будем считать, что , , , , , . Тогда . Используя первое уравнение системы (1), получим или . Это и есть первое из уравнений нашей системы. Аналогично строятся и оставшиеся пять уравнений.

Полученная система, в силу построения, является следствием системы (1). Поэтому решением этой системы является набор функций , , , , , , где , , – решения системы (1).

Непосредственной проверкой, нетрудно убедится, что решением нашей системы также является следующий набор функций , .

В силу начальных условий (2), построенные решения совпадают при . Следовательно, по теореме Коши, они совпадают при всех значениях s.

Это означает, что векторы , , единичные и попарно ортогональные. Поэтому их смешанное произведение при всех значениях s равно либо +1, либо .

Поскольку это произведение непрерывно зависит от s и равно +1 при , то оно равно +1 при любом s. Таким образом, векторы , , единичные, попарно ортогональные и образуют правую тройку.

Рассмотрим теперь кривую , заданную уравнением

.

Во-первых, заметим, что параметризация кривой естественная. В самом деле,

и, так как – решение системы (1) с начальными условиями (2), то .

Найдем кривизну и кручение этой кривой. Используя первое уравнение системы (1), по формуле для вычисления кривизны получим

.

Вычислим кручение, также используя уравнения системы (1),

.

Итак, кривизна и кручение кривой совпадают с заданными функциями и . Существование кривой доказано. Докажем единственность.

Пусть и – две кривые, удовлетворяющие условиям теоремы. Совместим кривые и точками, соответствующими дуге и естественными трёхгранниками в этих точках. Пусть и – единичные векторы касательных, главных нормалей, бинормалей кривых и соответственно.

Тройки вектор-функций и являются решениями системы (1). Начальные значения этих решений совпадают. Отсюда следует, что решения совпадают тождественно. В частности, или . Интегрируя это равенство, получим: , где – постоянный вектор.

Таким образом, кривая отличается от кривой только положением в пространстве.


Поделиться:

Дата добавления: 2015-09-14; просмотров: 105; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2024 год. (0.006 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты