![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Эти соотношения называются формулами Френе.Доказательство. Пусть кривая В §8 доказано, что векторы Для доказательства второй формулы заметим, что Теорема доказана. Замечание. Формулы Френе дают выражения первых производных векторов репера Френе. Но с их помощью можно найти выражения высших производных указанных векторов. Существенно в этих формулах то, что полученные соотношения полностью определяются значениями кривизны и кручения кривой. Отметим, что формулы Френе являются основным аналитическим аппаратом раздела теория кривых дифференциальной геометрии; их нужно твердо запомнить. В качестве первого примера применения формул Френе рассмотрим вопрос о приближенном представлении кривой в окрестности ее произвольной точки Возьмем в качестве координатных осей декартовой системы координат с началом в точке Пусть кривая задаётся уравнением Разложим радиус-вектор
Но по формулам Френе
Теперь, сохраняя только главные члены этого разложения, получим Пусть кривизна и кручение кривой не равны нулю. Спроектируем кривую на координатные плоскости, т. е. на плоскости трехгранника Френе.
Имеем 2. На нормальную плоскость (плоскость Так как
Имеем
Как видно из рассмотренной задачи, коэффициенты в разложении функции Теорема. Пусть Доказательство. Если кривая, существование которой утверждается теоремой, действительно существует, то единичные векторы касательной (в силу формул Френе). Естественно поэтому при отыскании интересующей нас кривой обратиться к решениям этой системы. В качестве начальных условий для системы (1) выберем три единичные попарно ортогональные векторы
При сформулированных условиях согласно теореме существования и единственности решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений существует единственное решение Докажем, что для любого s векторы Для этого составим систему 6 линейных дифференциальных уравнений относительно 6 неизвестных скалярных функций Условно будем считать, что Полученная система, в силу построения, является следствием системы (1). Поэтому решением этой системы является набор функций Непосредственной проверкой, нетрудно убедится, что решением нашей системы также является следующий набор функций В силу начальных условий (2), построенные решения совпадают при Это означает, что векторы Поскольку это произведение непрерывно зависит от s и равно +1 при Рассмотрим теперь кривую
Во-первых, заметим, что параметризация кривой и, так как Найдем кривизну и кручение этой кривой. Используя первое уравнение системы (1), по формуле для вычисления кривизны получим
Вычислим кручение, также используя уравнения системы (1),
Итак, кривизна и кручение кривой Пусть Тройки вектор-функций Таким образом, кривая
|