КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Эти соотношения называются формулами Френе.
Доказательство. Пусть кривая 
задана уравнением 
и 
. В §7 доказано, что во всех точках кривой, где кривизна отлична от нуля, единичный вектор главной нормали 
. Отсюда, так как , то 
.
В §8 доказано, что векторы 
и 
коллинеарные, и 
(см. доказательство теоремы о кручении). Таким образом, с точностью до направления, 
.
Для доказательства второй формулы заметим, что 
и 
. Воспользовавшись первой и третьей формулами Френе, получим 
.
Теорема доказана.
Замечание. Формулы Френе дают выражения первых производных векторов репера Френе. Но с их помощью можно найти выражения высших производных указанных векторов.
Существенно в этих формулах то, что полученные соотношения полностью определяются значениями кривизны и кручения кривой.
Отметим, что формулы Френе являются основным аналитическим аппаратом раздела теория кривых дифференциальной геометрии; их нужно твердо запомнить.
В качестве первого примера применения формул Френе рассмотрим вопрос о приближенном представлении кривой в окрестности ее произвольной точки 
.
Возьмем в качестве координатных осей декартовой системы координат с началом в точке ребра трехгранника Френе: ось X – касательная, ось Y – главная нормаль, ось Z – бинормаль.
Пусть кривая задаётся уравнением .
Разложим радиус-вектор 
по формуле Тейлора в окрестности начала координат. Имеем
, так как 
.
Но по формулам Френе 
, 
, 
. Тогда
= 
.
Теперь, сохраняя только главные члены этого разложения, получим 
для достаточно малых s.
Пусть кривизна и кручение кривой не равны нулю. Спроектируем кривую на координатные плоскости, т. е. на плоскости трехгранника Френе.
1. На соприкасающуюся плоскость, т. е. на плоскость 
.
Имеем 
, т. е. проекция близка к параболе 
.
2. На нормальную плоскость (плоскость 
).
Так как 
и 
, то проекция близка к полукубической параболе 
.
3. На спрямляющую плоскость (плоскость XOZ).
Имеем 
. Проекция близка к кубической параболе 
.
Как видно из рассмотренной задачи, коэффициенты в разложении функции выражаются через функции 
и 
. Это даёт основание предполагать, что они определяют в какой-то мере кривую. И действительно имеет место теорема, которую часто называют основной теоремой теории кривых.
Теорема. Пусть 
и 
– две любые регулярные функции, причём 
. Тогда существует и притом единственная, с точностью до положения в пространстве, кривая, для которой является кривизной, а – кручением в точке, соответствующей дуге 
.
Доказательство. Если кривая, существование которой утверждается теоремой, действительно существует, то единичные векторы касательной 
, главной нормали 
и бинормали 
должны удовлетворять формулам Френе. Таким образом, для неизвестных функций , , , используя заданные функции и , построим следующую систему дифференциальных уравнений
(1)
,
(в силу формул Френе).
Естественно поэтому при отыскании интересующей нас кривой обратиться к решениям этой системы.
В качестве начальных условий для системы (1) выберем три единичные попарно ортогональные векторы 
, образующие правую тройку: 
, 
, 
. Тогда решение системы (1) должно удовлетворять начальным условиям:
. (2)
При сформулированных условиях согласно теореме существования и единственности решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений существует единственное решение , , системы (1), удовлетворяющее начальным условиям (2).
Докажем, что для любого s векторы , и единичные, попарно ортогональные и образуют правую тройку.
Для этого составим систему 6 линейных дифференциальных уравнений относительно 6 неизвестных скалярных функций 
следующим образом.
Условно будем считать, что 
, 
, 
, 
, 
, 
. Тогда 
. Используя первое уравнение системы (1), получим 
или 
. Это и есть первое из уравнений нашей системы. Аналогично строятся и оставшиеся пять уравнений.
Полученная система, в силу построения, является следствием системы (1). Поэтому решением этой системы является набор функций , , , , , , где , , – решения системы (1).
Непосредственной проверкой, нетрудно убедится, что решением нашей системы также является следующий набор функций 
, 
.
В силу начальных условий (2), построенные решения совпадают при 
. Следовательно, по теореме Коши, они совпадают при всех значениях s.
Это означает, что векторы , , единичные и попарно ортогональные. Поэтому их смешанное произведение при всех значениях s равно либо +1, либо 
.
Поскольку это произведение непрерывно зависит от s и равно +1 при , то оно равно +1 при любом s. Таким образом, векторы , , единичные, попарно ортогональные и образуют правую тройку.
Рассмотрим теперь кривую 
, заданную уравнением
.
Во-первых, заметим, что параметризация кривой естественная. В самом деле,
и, так как – решение системы (1) с начальными условиями (2), то 
.
Найдем кривизну и кручение этой кривой. Используя первое уравнение системы (1), по формуле для вычисления кривизны получим
.
Вычислим кручение, также используя уравнения системы (1),
.
Итак, кривизна и кручение кривой совпадают с заданными функциями и . Существование кривой доказано. Докажем единственность.
Пусть 
и 
– две кривые, удовлетворяющие условиям теоремы. Совместим кривые и точками, соответствующими дуге 
и естественными трёхгранниками в этих точках. Пусть 
и 
– единичные векторы касательных, главных нормалей, бинормалей кривых и соответственно.
Тройки вектор-функций 
и 
являются решениями системы (1). Начальные значения этих решений совпадают. Отсюда следует, что решения совпадают тождественно. В частности, 
или 
. Интегрируя это равенство, получим: 
, где 
– постоянный вектор. 
Таким образом, кривая отличается от кривой только положением в пространстве.
Дата добавления: 2015-09-14; просмотров: 161; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав |