Соприкасающаяся окружность. Эволюта и эвольвента плоской кривой.

Пусть задана плоская кривая , – произвольная точка на ней.

Определение. Окружность , проходящая через точку , называется соприкасающейся окружностьюкривой в точке , если кривая в этой точке с окружностью имеет соприкосновение второго порядка.

Центр соприкасающейся окружности называется центром кривизны кривой.

Найдём соприкасающуюся окружность регулярной кривой в точке P, где кривизна отлична от нуля. Пусть – естественная параметризация кривой . Уравнение произвольной окружности имеет вид

,

где – радиус-вектор центра окружности, – радиус окружности.

Так как в точке окружность с кривой должна иметь соприкосновение второго порядка, то согласно теореме § 11 необходимо и достаточно, выполнение в точке следующих условий:

,

,

.

Первое из этих трех условий выражает собой то, что точка лежит на окружности. Из второго условия видно, что вектор , направленный из центра окружности в точку , перпендикулярен вектору касательной к кривой. Это значит, что центр окружности лежит на нормали кривой в точке . Третье условие определяет радиус окружности. Действительно, , , и коллинеарные векторы и , противоположно направленные, где – единичные векторы касательной и главной нормали кривой, а – кривизна кривой в точке . Следовательно, третье условие может быть приведено к виду . Таким образом, если , радиус соприкасающейся окружности равен . Величину будем называть радиусом кривизны кривой.

Отсюда следует, что если кривизна кривой в точке равна нулю, то не существует соприкасающейся окружности кривой в точке . В этом случае окружность вырождается в прямую, и касательная кривой имеет с ней (кривой) соприкосновение второго порядка.

Таким образом, найден радиус и положение центра соприкасающейся окружности. Определим теперь эволюту кривой.

Определение. Эволютой кривой называется геометрическое место центров кривизны кривой.

Найдем уравнение эволюты регулярной кривой . Пусть – естественная параметризация кривой. Тогда радиус-вектор центра кривизны кривой

.

Это и есть векторное уравнение эволюты кривой .

Выясним, что представляет собой эволюта кривой. Рассмотрение ограничим следующими основными случаями:

1. Вдоль всей кривой или и не обращается в нуль.

2. Вдоль всей кривой или , в некоторой точке кривой соответствующей параметру .

3. Для , для , , , не обращается в нуль вдоль всей кривой.

В первом случае эволюта представляет собой регулярную кривую без особых точек.

Действительно, . Используя формулы Френе, получим , так как .

Во втором случае разобьём кривую на две части точкой соответствующей значению параметра . Для каждой из частей выполняются условия, оговоренные в первом случае. Следовательно, эволюта распадается на две регулярные кривые, являющиеся эволютами частей кривой .

В третьем случае эволюта представляет собой регулярную кривую. Точка эволюты, соответствующая точке , является особой точкой, а именно точкой возврата первого рода.

Рассмотрим некоторые свойства эволюты.

Пусть – регулярная кривая, для которой всюду сохраняет знак и . Тогда эволюта – регулярная кривая без особых точек.

1). Найдём длину дуги эволюты соответствующей отрезку кривой. Имеем

.

Отсюда, так как сохраняет знак, получаем

.

Таким образом, длина дуги отрезка эволюты равна модулю разности радиусов кривизны кривой в точках, соответствующих концам этого отрезка.

2). Докажем, что эволюта является огибающей семейства нормалей кривой .

Действительно, пусть – точка эволютыкривой . Тогда, во-первых, она лежит на нормали кривой в точке . Найдем направляющий вектор касательной к эволюте в точке . Имеем

.

Следовательно, касательная к эволюте совпадает с нормалью к кривой . Таким образом, эволюта кривой каждой своей точкой касается нормалей кривой , т.е. является огибающей семейства нормалей кривой .

Используя данное свойство эволюты, найдем ее уравнение в случае произвольной параметризации кривой. Пусть кривая задана уравнениями

.

Тогда семейство нормалей определяется уравнением

,

а огибающая системой уравнений

Решая систему относительно и , получим

,

– параметрические уравнения эволюты.

Определение. Эвольвентой кривой называется такая кривая , по отношению к которой кривая является эволютой.

Пусть – естественная параметризация кривой . Тогда радиус-вектор точки эвольвенты, можно записать в виде

.

Дифференцируя это равенство по , получим

.

Умножим данное равенство скалярно на вектор . Учитывая ортогональность векторам и , получим . Следовательно, , где c – произвольная постоянная.

Таким образом, если кривая имеет эвольвенту, то она задаётся уравнением

,

где c – произвольная постоянная.

Легко убедиться, что при любом c, каждая кривая, задаваемая этим уравнением, имеет своей эволютой кривую , и, следовательно, является для неё эвольвентой. Теперь нетрудно получить векторное уравнение эвольвенты в случае произвольной параметризации кривой

.

В координатной форме это уравнение имеет вид

,

(параметрические уравнения эвольвенты).

Наглядно построение эвольвенты можно представить следующим образом. Если гибкая и нерастяжимая нить, будучи закреплена в некоторой точке кривой и натянута в свободной точке, наматывается на кривую или разматывается с нее, то ее свободный конец описывает эвольвенту кривой .

Выясним, что представляет собой эвольвента в двух основных случаях.

Если кривизна для всех значений параметра кривой , то в этом случае эвольвента есть регулярная кривая без особенностей. Действительно,

.

Если же кривизна обращается в ноль только при и , то эвольвента является регулярной кривой, а точка эвольвенты является особой точкой кривой .

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение.. 3

§1. Понятие кривой. Элементарная кривая. Простая кривая. Общая кривая. 5

§2. Регулярная кривая. Способы аналитического задания кривой. 9

§3.Векторная функция скалярного аргумента. Кривая, как годограф векторной функции. 13

§4. Касательная кривой. Теорема о касательной. 17

§5. Длина дуги кривой. Естественная параметризация. 21

§6. Соприкасающаяся плоскость кривой. Главная нормаль и бинормаль кривой. РеперФрене. 26

§7. Кривизна кривой. 30

§8. Кручение кривой. 33

§9. Формулы Френе. Натуральные уравнения кривой. 36

§10. Огибающая семейства плоских кривых, зависящих от параметра. 41

§11. Соприкосновение кривых. 43

§12. Соприкасающаяся окружность. Эволютаи эвольвента плоской кривой. 46

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. – М.: Наука, 1974. – 176 с.

2. Борисенко О.А. Диференціальна геометрія і топологія. – Х.: Основа, 1995. – 304 с.

3. Аминов Ю.А. Дифференциальная геометрия и топология кривых. – М.: Наука, 1987. – 160 с.

4. Поздняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия. Первое знакомство. – М.: Изд-во МГУ, 1990. – 384 с.

5. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. – М.: Наука, 1990. – 672 с.

6. Новиков П.С., Фоменко А.Т. Элементы дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Наука, 1987. – 432 с.

7. Фиников С.П. Курс дифференциальной геометрии. – М.: ГИТТЛ, 1952. – 343 с.