Длина дуги кривой. Естественная параметризация.

Пусть – элементарная кривая, являющаяся образом открытого отрезка , например , при топологическом отображении в пространство.

Выберем на отрезке точек, разбивающих его на n частей: (для удобства можно положить ). Ломаная с вершинами называется вписанной в кривую . При этом будем считать, что ломаная правильно вписана в кривую , если прообразы её вершин на следуют в таком же порядке, как и на ломаной. Другими словами, если порядок точек на отрезке определяется порядком точек на кривой . Свойство ломаной быть правильно вписанной в кривую не зависит от гомеоморфизма .

Определение. Кривая называется спрямляемой в окрестности точки , то есть имеет длину, если эта точка имеет элементарную окрестность такую, что все правильно вписанные в неё ломаные равномерно ограничены по длине.

Кривая спрямляемая в окрестности каждой своей точки, называется просто спрямляемой.

Интуитивно ясно, что длина кривой (если она существует) не должна сильно отличаться от длины вписанной ломаной при условии, что у ломаной достаточно много звеньев и все они достаточно малы. Это приводит к следующему определению длины отрезка кривой. При этом отрезком кривой будем называть её часть, гомеоморфную замкнутому прямолинейному отрезку.

Определение. Длиной дуги отрезка кривой (или простодугой) будем называть точную верхнюю грань длин правильно вписанных в этот отрезок ломаных.

Теорема. Гладкая кривая спрямляема. Если

её гладкая параметризация и – отрезок кривой , то длина этого отрезка

.

Доказательство. Первоначально докажем, что гладкая кривая спрямляема. Пусть – произвольная точка кривой и – её гладкая параметризация в окрестности этой точки. Оценим длину правильно вписанной ломаной в окрестность точки .

Пусть – значения параметра, соответствующие последовательным вершинам ломаной. Длина произвольного звена ломаной равна . Следовательно, длина всей ломаной

.

Имеем

,

и

где – постоянная, удовлетворяющая условию (постоянная существует, так как функция , непрерывная на отрезке , ограничена на нем). Отсюда

.

Таким образом, ломаные , вписанные в достаточно малую окрестность точки , ограничены в совокупности и, следовательно, кривая спрямляема в окрестности произвольной точки , а значит просто спрямляема.

Найдем длину отрезка кривой , заданного уравнением

.

Для этого сравним длину дуги и .

Впишем в отрезок ломаную , удовлетворяющую следующим условиям:

1). Для любого сколь угодно малого положительного длина ломаной отличается от длины дуги отрезка не более чем на .

2). Для всех и любого сколь угодно малого положительного выполняется неравенство .

Существование такой ломаной нетрудно доказать. Действительно, ломаная, удовлетворяющая первому условию существует по определению длины дуги отрезка кривой. Если же к этой ломаной добавлять новые вершины, то первое условие не будет нарушаться. Однако при этом можно сделать сколь угодно малым.

Таким образом, по построению, длина ломаной отличается от не более чем на , то есть сколь угодно мало.

С другой стороны,

+ .

Оценим слагаемые в фигурных скобках. Первое из них мало вместе с

по определению интеграла. Действительно,

, если .

Второе слагаемое можно записать так:

,

где при в силу равномерной непрерывности . Итак, данное слагаемое также мало вместе с . Следовательно, длина ломанной сколь угодно мало отличается от .

Таким образом, длина дуги сколь угодно мало отличается от , а, следовательно, равна ему по свойству точной верхней грани множества, т.е.

.

Теорема доказана полностью.

Естественная параметризация. Пусть – спрямляемая кривая, – её параметризация, – длина дуги отрезка кривой , соответствующего значениям параметра от до . Определим функцию условиями:

, если ;

, если ;

.

Функция строго монотонная (чем больше отрезок – тем больше длина). Поэтому можно принять в качестве параметра на кривой. При данной параметризации, параметром точки кривой является длина соответствующей дуги кривой. Такую параметризацию называют естественной.

Теорема.Естественная параметризация регулярной кривой (k раз дифференцируемой, аналитической) без особых точек является регулярной (k раз дифференцируемой, соответственно аналитической). Если – естественная параметризация кривой, то .

Доказательство. Пусть – регулярная параметризация кривой в окрестности произвольной точки, соответствующей значению параметра .

Для каждого отрезка, принадлежащего этой окрестности, имеем

.

Так как и – k раз непрерывно дифференцируемая функция от , , то t является k раз дифференцируемой функцией от t.

Действительно, , то есть выражается через первую производную , аналогично – через и , и так далее.

Но для s,близких к , . Отсюда следует, что также регулярная (k раз дифференцируемая) функция аргумента s (по правилу дифференцирования сложной функции). Имеем:

.

Следовательно, .

Теорема доказана.

Условие называют характеристическим свойством естественной параметризации (его выполнение означает естественную параметризацию кривой). Естественный параметр s и произвольный параметр t связаны соотношением

.

Для перехода к естественной параметризации кривой необходимо:

1). Найти функцию .

2). Построить функцию обратную к функции .

3). Осуществить замену в уравнении кривой.

В заключение приведем формулы для вычисления длины дуги кривой в случае параметрического и явного задания кривой.

1. Кривая задана параметрическими уравнениями

,

.

2. Кривая задана уравнениями

,

.

Для плоских кривых, лежащих в координатной плоскости XOY, в этих формулах надо положить .