Множества, элементы, подмножества. Пустое множество.

Множество и отношение «быть элементом» относятся к числу первичных, неопределяемых понятий. Тем не менее, приведём примеры множеств и способов их записи, а также введём соответствующую символику.

a) Множество – школьный класс. Его элементы – ученики. Его можно задать списком учеников. Если ученик находится в списке, то он является элементом данного множества, если нет, то не является

b) Множество букв русского алфавита. Буква А является его элементом, а буква À- нет.

c) Множество, состоящее из точек нарисованной окружности. В отличие от предыдущих двух примеров, в нём бесконечно много элементов.
Бесконечными множествами являются также множества точек отрезка, луча, прямой.

d) Множество всех натуральных чисел. Оно имеет специальное обозначение, и его элементы записываются в фигурных скобках через запятую:
N={1,2,3,…}.

Тот факт, что х является элементом множества Х (элементы записываются строчными буквами, а множества – прописными) записывается так: хÎХ. Символ «Î» читается как «принадлежит».

Если элемент у не является элементом множества У, то это записывают так: уÏУ или уУ. Если одно множество, является частью другого, то оно называется его подмножеством.

Точнее, множество А является подмножеством В если каждый элемент множества А является в то же время элементом множества В. Иначе говоря, для всех элементов х справедлива импликация: хÎАÞхÎВ. Этот факт записывают так:АÌВ. Само множество также является своим подмножеством. Это подмножество называется несобственным. Все остальные его подмножества (не совпадающие с ним) называются его собственными подмножествами. Множества совпадают (А=В) если каждое из них является подмножеством другого, т.е. они состоят из одних и тех же элементов. Одно специальное множество называется пустым и обозначается символом Æ. Это множество вообще не содержит ни одного элемента.

Примеры. Подмножествами множества N являются, например, все чётные числа, все нечётные числа, все числа, кратные 3, все числа большие 5, число 8, числа меньшие 13. Множество, состоящее из двух точек – концов отрезка, является подмножеством этого отрезка. Окружность является подмножеством круга, границей которого она является. Центр этого круга (одна точка!) также является его подмножеством, состоящим из одного элемента, а сам круг является своим несобственным подмножеством.

Упражнение 1.

a) Сколько подмножеств имеет пустое множество?

b) Множество, состоящее из одного элемента? Из двух элементов?

c) Из трёх? Из четырёх?

d) Сформулируйте гипотезу о числе подмножеств множества из n элементов.