Декартово произведение множеств

Введём ещё одну бинарную операцию со множествами.

(Прямым) произведением A×B множеств А и В называется множество, элементами которого являются всевозможные пары (а, b), где аÎА, bÎВ: А´В={(a,b)½aÎA, bÎB}.

Если при этом А=В, то пишут также А´А=А². Операция произведения не коммутативна, но дистрибутивна. Обратим внимание, что если А и В являются подмножествами некоторого множества U, то их произведение уже не является подмножеством этого множества U!

Декартово произведение удобно изображать на координатной (декартовой!) плоскости.
Каждой точке А плоскости поставим в соответствие две её координаты – её проекции на числовые оси ОХ и ОУ (см. рисунок). Для задания декартовой системы координат мы должны:

a) Выбрать точку – начало координат;

b) Выбрать лучи, исходящие из этой точки;

c) Указать, какой из этих двух лучей мы считаем первым, а какой – вторым;

d) Выбрать на каждом из лучей отрезок-эталон, длину которого будем считать единицей и с которым сравнивать все другие отрезки на этом луче.

e) Не следует думать, однако, что декартова система координат является единственным способом указания места точки на плоскости. Например, можно поступить следующим образом:

a) Выбрать точку – начало координат;

b) Выбрать луч, исходящий из этой точки;

c) Выбрать на этом луче систему координат, т.е., отрезок-эталон, длину которого будем считать единицей.

Теперь каждая точка на плоскости (кроме начала координат) характеризуется двумя числами: величиной угла, который образует луч, исходящий из начала координат и проходящий через эту точку и расстоянием на этом луче от начала координат до точки.

Например, точка, изображённая на рисунке слева, имеет координаты (3,30°). Такую систему координат называют полярной.

Точка на окружности вообще характеризуется одним числом, например, длиной дуги окружности от выбранной на окружности точки (начала координат) в заданном на окружности направлении (таким обычно считают направление против движения часовой стрелки).