Построение Z.

Рассмотрим сначала такой пример. Число 2 является решением уравнения 1+х=3. Можно сказать, что пара чисел (3,1) определяет число 2. Отметим эту пару точкой A на «четвертинке» плоскости N´N, называемой первым квадрантом. Но разве только решением уравнения с такими именно числами является 2? А если добавить к обеим частям равенства одно и то же число, равенство же останется в силе: 2+х=4; 3+х=5, 4+х=6,…Стало быть, все эти пары чисел, (4,2); (5,3); (6,4) определяют таким же образом одно и то же число 2. Отметим их все в том же произведении натуральных чисел на себя. Получилась бесконечная цепочка точек, лежащая на луче, исходящим из точки А(3,1) и уходящим в бесконечность параллельно прямой у=х.. Назовём все эти точки эквивалентными и представляющими число 2. Любую из них можно взять в качестве представителя числа 2, а само число 2 – это все эти точки, весь этот «луч».

Повторим теперь эту процедуру с произвольным числом.

Пусть даны натуральные числа а и b. Рассмотрим опять уравнение а+х=b.

Пока мы находимся в области натуральных чисел, решение (это и есть, по определению, разность b и а, а процедура нахождения этого решения называется вычитанием а из b) существует (и единственно) только при a<b. Кроме того, мы знаем, что число х даже при a<b не определяет эту пару (b,a) однозначно. Если мы прибавим любое натуральное число с к обеим частям уравнения, то от этого его решение не изменится: а+с+х= b+с.

Отметим точку (b,a). Все точки с координатами (b+c, a+c) определяют одно и то же число х. Поэтому мы их все и отметим. Все эти точки с натуральными координатами лежат на одном луче, выходящим из точки (b-a+1,1). Все они, вместе взятые, целиком и определяют число х – решение исходного уравнения. Другие лучи определяют другие числа.

Все эти лучи параллельны друг другу и лучу у=х и выходят из точек со второй координатой, равной единице. Все получающиеся таким образом лучи образуют пучок параллельных лучей, лежащих в правой нижней половине квадранта (снизу от биссектрисы прямого угла). На рисунке внизу они отмечены фиолетовым цветом.

Назовём эти лучи числами.

Научимся теперь складывать числа-лучи. Пусть у нас имеются два луча, m и n.

Возьмём на каждом из двух лучей по точке-представителю: (а,b) из m и (c,d).из n. Сложим их покомпонентно[4] и рассмотрим луч, проходящий через полученную точку (a+c, b+d). Его мы и назовём суммой лучей (чисел!) m и n. Надо ещё проверить корректность этого определения, а именно, что эта сумма (луч) не будет зависеть от того, какие именно точки мы взяли на исходных слагаемых-лучах m и n в качестве представителей.

Упражнение 9. Убедитесь в этом. Возьмите другие точки на тех же самых лучах и покажите, что полученная вами в результате сложения точка принадлежит тому же лучу.

Упражнение 10. Какой луч будет играть роль «нуля»: его прибавление к любому лучу, оставляет этот луч на месте?

Упражнение 11. Какую точку надо прибавить к (а,b) чтобы получилась точка на нулевом луче?

Последнее упражнение и позволило нам определить отрицательные числа. Это те числа-лучи, сумма которых с положительными лучами равна нулю.

У отрицательных лучей, как легко видеть, первая координата больше второй.

Где проходят положительные лучи? Где проходят отрицательные лучи?

Лучи, сумма которых равняется нулевому лучу, называются взаимно противоположными.
Как взаимно противоположные лучи расположены относительно друг друга?

Обратите внимание на следующие важные обстоятельства (вы должны уметь их обосновать).

ü Через каждую точку первого квадранта N´N целочисленной плоскости проходит один и только один луч. Таким образом, возникло разбиение множества точек N´N на лучи.

ü Каждому лучу соответствует и при том однозначным образом противоположный ему луч, т.е. луч, сумма с которым равняется нулевому лучу.

Осталось определить умножение чисел-лучей.

Опять возьмём представителей (а,b) и (c,d) лучей m и n.

Найдём точку с координатами (ac+bd, ad+bc) и проведём через неё луч, параллельный всем остальным лучам в нашем множестве лучей. Его мы и назовём произведением лучей m и n.

Упражнение 12*. Проверьте, что и это определение корректно.

Def[5]. Построенное нами множество чисел-лучей вместе с введёнными над ними операциями сложения и умножения называется кольцом[6] целых чисел. Оно обозначается буквой Z.

Напомню, что коммутативность a+b=b+a и ассоциативность (a+b)+c=a+(b+c) операции сложения натуральных чисел усматривается непосредственно, если представлять себе, что мы складываем вместе какие-либо предметы. С теми же свойствами умножения дело обстоит чуточку сложнее. Для того, чтобы представить себе получающуюся геометрическую картинку, рассмотрим пример. Пусть мы умножаем два на три. Это значит, складываем три два раза: 2´3=3+3. Возьмём одну тройку камешек или фишек и поставим вторую тройку рядом, напротив первой:

Если мы расположим каждый ряд из трёх фишек в линию на одном и том же расстоянии друг от друга и точно под первым рядом расположим второй, то все вместе 6 фишек образуют прямоугольник размером как раз 2´3.

Теперь если нам нужно поменять сомножители местами, три раза сложить два, то нам достаточно просто повернуть этот же прямоугольник (или свою голову).

3´2=2+2+2. Ясно, что количество фишек при этом не изменится.

В общем виде это выглядит, как a´b=b´a, где a и b – натуральные числа.

Для объяснения ассоциативности используем не круглые плоские фишки, а кубики. Представим себе, что мы умножаем двумя способами 3, 5 и 6. По первому способу сначала умножаем 3 на 5, а потом результат умножаем на 6. По второму сначала умножаем 5 на 6, а затем результат (произведение 5 и 6) умножаем на 3. Предположим, что у нас имеются кубики 1´1´1м и комната с размерами 5м в ширину, 6м в длину и 3м в высоту.

(3´5)´6: выкладываем заднюю стенку высотой 3м во всю ширину (5м) комнаты:

На эту стенку как раз и уйдут 3´5 кубиков. Теперь, если мы поставим рядом 6 таких стенок, то они как раз и заполнят всю комнату.

Если же выложить в один ряд пол, то на это уйдёт 5´6 кубиков. Если поставим на этот пол ещё два таких же, то мы опять заполним ту же самую комнату, на этот раз, двигаясь снизу вверх.

В итоге и получим, что (3´5)´6=3´(5´6).

В общем виде это выглядит, как a´(b´c)=(a´b) ´c, где a, b и c – натуральные числа.

Осталось у нас ещё одно свойство, связывающее сложение и умножение – дистрибутивность. Его тоже можно обосновать геометрически. Допустим, нам нужно умножить 3 на 4, потом 3 на 5 и оба произведения сложить. Строим два прямоугольника 3´4 и 3´5 и прикладываем их друг к другу по общей стороне 3:

Видно, что получается один большой прямоугольник со сторонами 3 и (4+5). Поэтому и выполняется 3´4+3´5=3´(4+5). В общем виде это выглядит, как a´(b+c)=a´b+a´c, где a, b и c – натуральные числа.

Обратите внимание, что эти же законы выполняются для операций над высказываниями и над множествами. Но разница все-таки есть.

Упражнение 13.В чём же она?

Упражнение 14. Исходя из того, что для натуральных чисел выполняются обычные законы арифметики (коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность) докажите, что эти же законы выполняются и для определённых выше действий с целыми числами (лучами l,m, n).
Определим теперь порядок на множестве целых чисел. Обозначим луч, содержащий точку (а,b) как [a,b]. Считаем, что число [а,b]>0 если а>b. (Напомним, что а и b – натуральные числа, для них это понятие уже введено).

Упражнение 15.Докажите, что это определение корректно (т.е., не зависит от выбора точки-представителя).

Вычитание определим, как и раньше: разностью m-n чисел-лучей m и n называется число-луч, являющееся решением уравнения n+x=m.

Упражнение 16.Докажите корректность этого определения.

Теперь распространим отношение порядка на все целые числа.

Будем считать, что m>n если m-n>0.

Упражнение 17.Проверьте корректность этого определения.