Упражнение 30.

a) Запишите в этой системе счисления число 101110₂.

b) * Докажите, что в этой системе счисления каждое число записывается в виде последовательности из нулей и единиц, причём никакие две единицы не стоят рядом. При этом каждой такой последовательности соответствует некоторое число, причём разным последовательностям соответствуют разные числа, а разным числам – разные последовательности.

Конечные арифметики

Деление с остатком.

Рассмотрим сначала натуральные числа. Пусть нам надо разделить, например,17 на 3.

Мы берём , скажем, 17 пуговиц и начинаем укладывать их рядами по три в ряд:

Получилось пять рядов и осталось ещё две пуговицы. Мы этот факт описываем равенством 17=3´5+2, в котором 17 называется делимым, 3 – делителем, а 2 – остатком. Нас будут интересовать, главным образом, остатки. Во-первых, этот остаток не может превысить и даже равняться делителю – иначе мы могли бы из них ещё один ряд составить и добавить к выложенным прямоугольником пуговицам. Во-вторых, он больше или равен нулю. Если он оказался равен нулю, то мы говорим, что делимое делится на делитель без остатка, или ещё, по-другому, нацело. Так, нацело делятся 22 на 2, 28 на 7 и т.д. Теперь мы возьмём это свойство остатка за основу и дадим такое определение. Пусть нам даны два целых числа, уже теперь не обязательно натуральные, a и b. Рассмотрим уравнение a=bX+Y[9].

На Y наложим ограничение: он должен быть меньше b и не меньше нуля: 0£Y<b.

Оказывается, что этим условием оба целых числа Х и Y определяются однозначно.