Упражнение 32.

а) Докажите, что отношение R -это отношение эквивалентности.

б) Докажите, что aºb(modс)Ûa-bº0(modc)

Итак, все числа разбиваются этим отношением на классы: класс нуля – все числа, делящиеся нацело на с, класс единицы – дающие 1 в остатке, и т.д. Будем обозначать эти классы чертой сверху над их представителями:

Введём теперь операции – сложения и умножения в множестве классов (для определённости – снова по модулю 5). Как всегда, сделаем это с помощью представителей.

Пусть а – представитель класса (по модулю с), b– представитель класса . Тогда сумма элементов a и b – тоже представитель какого-то класса. Этот класс мы обозначим, как и назовём суммой классов и .

Аналогично произведение классов определяется как класс произведения представителей: ´ = . В правой части равенства мы сначала умножаем представителей классов (то есть, числа), а затем находим класс, в котором находится произведение (то есть, делим на с и находим остаток).

Замечание.

Умножение классов (слева от знака равенства, определяющего это умножение) тоже надо было бы обозначать каким-то иным символом, чтобы не спутать его с умножением чисел, но мы оставим его таким же, чтобы не перегружать записи значками в надежде, что вы будете иметь это ввиду и не перепутаете.