Упражнение 38.

Выведите признаки делимости на 8 и на 9.

Делимость на составные делители.

Теперь допустим, что наш делитель является произведением делителей, признаки делимости на которые мы знаем. Для примера рассмотрим делители, являющиеся произведением двух делителей:

33=3×11; 45=5×9; 44=4×11; 99=9×11; 55=5×11; 18=2×9; 22=2×11.

Обозначим один из них за р, другой за q. Тогда мы ищем остаток от деления на p×q.

X=Y×(p×q)+r. Именно этот остаток rнам и нужен.Что мы про него знаем?

Ну, во-первых, как и всякий остаток, он меньше делителя: 0£r<p×q.

Далее, Х(modp)=(Y×(p×q)+r)modpºY×(p×q)modp+rmodpºrmodp (почему?)

Аналогично, Х(modq)ºrmodq. Отсюда мы и находим r.Пример:

Найти остаток от деления 702254439811 на 33.

Искомый остаток 0£r<33. (702254439811)mod11ºrmod11º(1-1+8-9+3-4+4-5+2-2+0-7)mod11º

(-10)mod11º1(mod11). Итак, кандидатами на r являются числа 1,12и23. Теперь применим признак делимости на второй делитель числа 33: (702254439811)mod3ºrmod3º(1+1+8+9+3+4+4+5+2+2+0+7)mod3º46mod3º1mod3.

Итак, из числа кандидатов на r надо выбрать тот, который даёт остаток 1 при делении на 3.

Им является, конечно, 1.

Упражнение 39.

Найдите остатки от деления чисел

a) 101003459388 на 44;

b) 556782393207 на 55;

c) 713268005156 на 99;

d) 891273645044 на 45;

e) 987023456121 на 66

Кодом Грея порядка n называется последовательность всех наборов из нулей и единиц длины n, в которой два соседних набора отличаются только в одной компоненте.

Примером кода Грея порядка 2 является последовательность 00, 01, 11,10.

Упражнение 40.*

a) Постройте коды Грея порядков 3 и 4.

b) Докажите, что "натурального n $ код Грея порядка n (длины 2^т).
(hint: number positions in sets from right to left from 1 to n and number each set, starting from the second (the first should always be 00…0) by the number of its position, in which it differs from the previous one. Like in the sample it would be 1,2,1)

Код Грея порядка 2 – это путь по сторонам квадрата, проходящий через все его вершины, порядка 3 – путь обхода по рёбрам всех вершин куба (каждая вершина характеризуется набором длины три из нулей и единиц). Код Грея позволяет оптимизировать процесс подбора ключа к зашифрованной ячейке в камере хранения…

Литература.

[1] Н.Я. Виленкин «Рассказы о множествах», 3 издание, МЦНМО, 2005. Глава I.

[2] Рэймонд М. Смаллиан «Принцесса или тигр?», МИР, .М., 1985

Особое задание.

Хорошенько отдохнуть и здоровыми, весёлыми и бодрыми придти в сентябре в школу «Интеллектуал» чтобы грызть гранит разных наук и искусств.

Я.И.

Rene Descartes

( 31.03.1596 - 11.02.1650; France)

Рене Декарт родился в городке Ла-Гэ в Турени. Род Декартов принадлежал к незнатному чиновному дворянству. Его мать умерла через несколько дней после рождения Д.. Рене остался жив, но до двадцати лет короткий, сухой кашель и бледный цвет лица внушали опасения за его жизнь. Детство Рене провел в Турени, славившейся садами и мягкостью климата. В 1612 году Декарт закончил школу.

В начале Тридцатилетней войны служил в армии, которую оставил в 1621; после нескольких лет путешествий переселился в Нидерланды (1629), где провёл двадцать лет в уединённых научных занятиях. Здесь вышли его главные сочинения - "Рассуждение о методе..." (1637, рус. пер. 1953), "Размышления о первой философии..." (1641, рус. пер. 1950), "Начала философии" (1644, рус. пер. 1950). В 1649 по приглашению шведской королевы Кристины переселился в Стокгольм, где вскоре умер.

Декарт исследовал строение различных органов животных, а также строение их зародышей на различных стадиях развития. Физиологические работы Декарт основаны на учении У. Гарвея о кровообращении. Он впервые попытался выяснить сущность "непроизвольных" и "произвольных" движений и описал схему рефлекторных реакций, в которой представлены центростремительная и центробежная части рефлекторной дуги. Декарт считал рефлекторными не только сокращения скелетной мускулатуры, но и многие вегетативные акты.

В круге вопросов философии, которые разрабатывал Декарт, первостепенное значение имел вопрос о методе познания. Как и Ф. Бэкон, Декарт видел конечную задачу знания в господстве человека над силами природы, в открытии и изобретении технических средств, в познании причин и действий, в усовершенствовании самой природы человека. Декарт ищет безусловно достоверное исходное положение для всего знания и метод, посредством которого возможно, опираясь на это положение, построить столь же достоверное здание всей науки. Ни этого положения, ни этого метода он не находит в схоластике. Поэтому исходный пункт философских рассуждений Декарт - сомнение в истинности знания.

Однако, как и у Бэкона, сомнение, с которого начинал Декарт, есть не убеждение агностика, а только предварительный методический приём. Можно сомневаться в том, существует ли внешний мир, и даже в том, существует ли моё тело. Но само моё сомнение, во всяком случае существует. Сомнение же есть один из актов мышления. Я сомневаюсь, поскольку я мыслю. Если, т. о., сомнение - достоверный факт, то оно существует лишь поскольку существует мышление, поскольку существую я сам в качестве мыслящего: "...Я мыслю, следовательно, я существую..."
(Избр. произв., М., 1950, с. 282).

В учении о познании Декарт был родоначальником рационализма, который сложился в результате наблюдений над логическим характером математического знания. Математические истины, по Декарт, совершенно достоверны, обладают всеобщностью и необходимостью, вытекающими из природы самого интеллекта. Поэтому Декарт отвёл исключительную роль в процессе познания дедукции, под которой он понимал рассуждение, опирающееся на вполне достоверные исходные положения (аксиомы) и состоящее из цепи также достоверных логических выводов. Достоверность аксиом усматривается разумом интуитивно, с полной ясностью и отчётливостью. Для ясного и отчётливого представления всей цепи звеньев дедукции нужна сила памяти. Поэтому непосредственно очевидные исходные положения, или интуиции, имеют преимущество сравнительно с рассуждениями дедукции. Вооружённый достоверными средствами мышления - интуицией и дедукцией, разум может достигнуть во всех областях знания полной достоверности, если только будет руководствоваться истинным методом. Правила рационалистического метода Декарт состоят из четырёх требований:

1) допускать в качестве истинных только такие положения, которые представляются ясными и отчётливыми, не могут вызвать никаких сомнений в их истинности;

2) расчленять каждую сложную проблему на составляющие её частные проблемы или задачи;

3) методически переходить от известного и доказанного к неизвестному и недоказанному и

4) не допускать никаких пропусков в логических звеньях исследования.

В "Геометрии" (1637) Декарт впервые ввёл понятия переменной величины и функции. Переменная величина у Декарта выступала в двойной форме: как отрезок переменной длины и постоянного направления - текущая координата точки, описывающей своим движением кривую, и как непрерывная числовая переменная, пробегающая совокупность чисел, выражающих этот отрезок. Двоякий образ переменной обусловил взаимопроникновение геометрии и алгебры. У Декарта действительное число трактовалось как отношение любого отрезка к единичному, хотя сформулировал такое определение лишь И. Ньютон; отрицательные числа получили у Декарт реальное истолкование в виде направленных ординат. Декарт значительно улучшил систему обозначений, введя общепринятые знаки для переменных величин (x, у, z,...) и коэффициентов (a, b, с,...), а также обозначения степеней (х⁴, a⁵,...). Запись формул у Декарта почти ничем не отличается от современной.

Декарт положил начало ряду исследований свойств уравнений. Сформулировал правило знаков для определения числа положительных и отрицательных корней, поставил вопрос о границах действительных корней и выдвинул проблему приводимости (представления целой рациональной функции с рациональными коэффициентами в виде произведения двух функций такого же рода). Указал, что уравнение 3-й степени разрешимо в квадратных радикалах и решается с помощью циркуля и линейки, когда оно приводимо.

В аналитической геометрии, которую одновременно с Декартом разрабатывал Пьер Ферма, основным достижением Декарт явился созданный им метод координат. В область изучения геометрии Декарт включил "геометрические" линии (названные позднее Г. Лейбницем алгебраическими), которые можно описать движениями шарнирных механизмов. Трансцендентные ("механические") кривые Декарт исключил из своей геометрии. В "Геометрии" Декарт изложил способ построения нормалей и касательных к плоским кривым (в связи с исследованиями линз) и применил его, в частности, к некоторым кривым 4-го порядка, т. н. овалам Декарта. Заложив основы аналитической геометрии, сам Декарт продвинулся в этой области недалеко - не рассматривались отрицательные абсциссы, не затронуты вопросы аналитической геометрии трёхмерного пространства. Тем не менее, его "Геометрия" оказала огромное влияние на развитие математики. В переписке Декарта содержатся и другие его открытия: вычисление площади циклоиды, проведение касательных к циклоиде, определение свойств логарифмической спирали. Из рукописей Декарта видно, что он знал (открытое позднее Л. Эйлером) соотношение между числами граней, вершин и рёбер выпуклых многогранников.

[1] Подчёркиванием в данном тексте отмечены термины, нуждающиеся в определении или пояснениях, которые будут даны на занятиях в классе.

[2] Здесь заканчивается часть конспекта, предназначенная для III тура отбора в НОУ «Интеллектуал» и в углублённые группы по математике. Начиная с этого места, следует продолжение, являющееся вашим Летним Конспектом. Нумерация упражнений начинается заново с 1.

[3] Так в дальнейшем будут помечаться все определяемые понятия (от слова definition)

[4] То есть, числа стоящие первыми складываем и получаем первое число ответа, сумма чисел, стоящих вторыми даст второе число – вторую координату искомой точки.

[5] Так в дальнейшем будут помечаться все определяемые понятия (от слова definition)

[6] Пусть вас не смущает новое незнакомое слово. Точное определение понятия кольца будет дано позже.

[7] Все подсказки даются по-английски и мелким шрифтом.

[8] Эта последовательность называется последовательностью Fibonacci.

[9] Когда две буквы стоят подряд, подразумевается, что между ними стоит знак умножения. Так, например, ab означает “a умножить на b” или a´b.