Упражнение 37.

Выведите аналогичным образом признаки делимости на 5, на 10 и на 4.

Вывод признак делимости на 3:

Хmod3= mod3=(a_n+a_n-1×10+...+a₂×10^n-2+a₁×10^n-1)mod3º
a_nmod3+(a_n-1×10)mod3+...+(a₂×10^n-2)mod3+(a₁×10^n-1)mod3º

a_nmod3+a_n-1mod3×10mod3+...+a₂mod3×(10^n-2)mod3+a₁mod3×(10^n-1)mod3º

a_nmod3+a_n-1mod3×1+…+a₂mod3×(10mod3)^n-2+a₁mod3× (10mod3)^n-1º

a_nmod3+a_n-1mod3×1+…+a₂mod3×1^n-2+a₁mod3×1^n-1 ºa_nmod3+a_n-1mod3+…+a₂mod3+a₁mod3º

(a_n+a_n-1+…+a₂+a₁)mod3

Итак, остаток от деления числа на 3 равен остатку от деления на 3 суммы его цифр.

При выводе признака делимости на 11 заметим, что 10mod11º10, но в то же время и º-1, а -1 ведёт себя при умножении почти так же хорошо, как и 1.

Вывод признака делимости на 11:

Хmod11= mod11=(a_n+a_n-1×10+...+a₂×10^n-2+a₁×10^n-1)mod11º
a_nmod11+(a_n-1×10)mod11+...+(a₂×10^n-2)mod11+(a₁×10^n-1)mod11º

a_nmod11+a_n-1mod11×10mod11+...+a₂mod11×(10^n-2)mod11+a₁mod11×(10^n-1)mod11º

a_nmod11+a_n-1mod11×(-1)+…+a₂mod11×(10mod11)^n-2+a₁mod11× (10mod11)^n-1º

a_nmod11+a_n-1mod11×(-1)+…+a₂mod11×(-1)^n-2+a₁mod11×(-1)^n-1º

a_nmod11-a_n-1mod11+…+ (-1)^n-2a₂mod11+(-1)^n-1a₁mod11º

(a_n-a_n-1+a_n-2-a_n-3+…+×(-1)^n-1a₁)mod11

Итак, остаток от деления числа на 11 равен остатку от деления на 11 знакопеременной суммы его цифр.