Упражнение 21.

Составьте таблицы для остальных функций b) – e) и нанесите на координатную целочисленную плоскость графики соответствующих функций – точки (Х,У) с этими значениями координат (взятыми из соответствующих таблиц).

Делая это упражнение, вы пользовались тем, что, например, 2´(-1)=-2. Вообще-то говоря, мы это ещё не доказали, хотя выглядит правдоподобно. Существует несколько объяснений этому, в зависимости от возраста того, кому объясняют – и в каждом из этих объяснений есть доля истины. Например, второклассникам я объясняю это так. Рассмотрим мир стрелок, растущих из ноля и оканчивающихся в натуральном числе. Стрелки можно складывать: не меняя их длины и направления, прикладывать начало одной к концу другой. Получится новая стрелка с началом опять в точке ноль. Пусть, к примеру, мы хотим сложить 1+1. Мы стрелку с началом в нуле и концом в 1 переносим и прикладываем началом к старому экземпляру её самой - стрелке с началом в нуле и концом в 1. Получилась стрелка с концом в 2. Мы просто сделали два шага вправо. Так же мы бы поступили, сложив 2+2. Стрелку 0®2 приложили бы началом к своему концу и получили бы стрелку 0®4. Мы сделали два шага вправо, каждый шаг длиной в два единичных отрезка. А теперь повернём влево:
для того, чтобы отнять от 4 единицу, нужно к концу стрелки 0®4 приложить стрелку длиной 1, но смотрящую влево. Она должна, стало быть, торчать из ноля и смотреть в другую сторону. Приложим её так же, как и раньше началом к концу, и она укажет своим концом на 3=4-1. А куда упирается своим концом та повёрнутая стрелка, торчащая из ноля? В место, где должно быть (0-1). Сотрём ноль и оставим -1. Тогда, если её сложить по нашим правилам с ней же самой, то она удвоится, но будет смотреть в ту же сторону. Итак, гуляя по прямой вправо-влево, мы видим, что отнять 2 от 5 это значит сделать от нуля пять шагов вправо, а потом два влево. Или, наоборот, сначала два шага налево, потом пять направо. То же получится, если приставлять к стрелке «5» стрелку «-2». Или в обратном порядке. То, что я сейчас вам сказал равносильно следующим арифметическим тождествам: (5-2)=-2+5=5+(-2).

Но что такое 2´(-1)? Это (-1)+(-1), два шага налево. Разумеется, попадём в -2.

Ну, а (-1)´2=2´(-1) по коммутативности. Итак, «плюс» ´ «плюс» = «плюс» - это мы знали ещё по натуральным числам в начальной школе; «плюс» ´«минус» = «минус»´ «плюс» = «минус», как мы только что выяснили. Осталось заполнить последнюю клеточку в таблице из четырёх возможных вариантов. Если поставить «минус», то у нас окажется один плюс и три минуса. А если «плюс», то плюсов и минусов будет поровну. По справедливости, должен стоять плюс!

Таково моё объяснение второклассникам – и их оно вполне удовлетворяет. Вас, возможно, не вполне. И потому дам вам ещё одно обоснование.

Вы уже построили графики функций у=х и у=2х. Можете построить ещё и график функции у=3х – во всех случаях точки ваших графиков будут лежать на прямых линиях, проходящих через 0. А постройте-ка теперь график функций у=-х и у=-2х. Пока х будет принимать значения 4, 3, 2, 1, 0 – всё хорошо и понятно, положительное число умножается на отрицательное, а это мы уже проходили. Заметим, однако, что на обоих графиках точки снова ложатся на прямые линии!

Чтобы они не сломались, а продолжились во второй квадрант (из четвёртого) как прямые линии, должно быть

–(-1)=1, -(-2)=2; (-2)´(-1)=2, (-2)´(-2)=4 и т.д.

И вообще, если мысленно представлять себе вертикальную ось как зеркало, то операция умножения на (-1) проявляется как отражение относительно этой оси. Второй раз умножим – опять отразимся и вернёмся назад. Убедил?

Надеюсь, что да. Ученики должны доверять своему учителю. Но если всё-таки остались у вас какие-то сомнения… - тогда докажем этот факт «по-взрослому»!

Вначале докажем, что 0´а=0 "аÎZ. Это можно было бы сделать непосредственно, исходя из нашего определения умножения лучей, но уж раз мы делаем всё по-взрослому, то сделаем по-другому.

Ведь взрослые любят усложнять простые вещи.