КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Доказательства теоретико-множественных тождеств.
a) Исходят непосредственно из определений операций, при этом обычно сначала доказывают, что левая часть равенства содержится в правой части, а затем, наоборот, что правая часть содержится в левой. Из этого заключают, что они совпадают. Для этого берут какой-либо один элемент из левой части равенства и доказывают, что он должен содержаться и в правой его части, а потом эту же процедуру повторяют, взяв элемент из правой части равенства. b) Сводят всё к формуле математической логики и доказывают, что она есть тавтология. Продемонстрируем оба способа на примерах. Доказать тождество: А\(ВÈС)=(А\В)Ç(А\С) a) Пусть некий элемент хÎА\(ВÈС). Тогда хÎА и хÏ(ВÈС). Значит он не принадлежит ни В, ни С. А тогда хÎА\В и хÎА\С, а значит, и их пересечению, т.е., всей правой части. b) Введём предикаты р(х): (хÎА) ; q(х): (хÎB; r(х): (хÎC). Тогда утверждение сводится к доказательству логической эквивалентности pÙØ(qÚr)~(p ÙØq)Ù(pÙØr) которая легко проверяется. Доказать тождество: АÇВ=АÛАÌВ a) (Þ) Опять, допустим хÎА. Так как АÇВ=А, то хÎАÇВ; Þ хÎВ. Итак, (хÎА)Þ(хÎВ). Значит, по определению, АÌВ. (Ü) Поскольку всегда АÇВÌА, то надо лишь доказать, что АÌАÇВ. Пусть хÎА. Так как АÌВ ,то хÎВ. Следовательно, хÎАÇВ. b) В обозначениях предыдущего примера получим: ((pÙq~p))~(pÞq). Надо доказать, что это – тавтология. Используем упражнение 7 пункт i) из части 1. Преобразуем сначала внутреннюю эквивалентность и импликацию: ((pÙqÙp)Ú(ù(pÙq) Ùùp))~(ùpÚq). В левой части от знака эквивалентности делаем преобразования: c) (Þ): АÇВÌВ; А=АÇВÞАÌВ. (Ü): АÌА и АÌВÞАÌ(АÇВ), а так как всегда АÇВÌА, то АÇВ=А Упражнение 7. a) АÈВ=ВÛАÌВ b) А\(ВÇС)= (А\В)È(А\С) c) А\(А\В)=АÇВ d) А\В=А\(АÇВ) e) АÈВ=АÈ(В\А) f) (АÇВ)ÌСÛАÌСÈВс g) АÌ(ВÈС)ÛАÇВсÌС h) (А\В)ÈВ=АÛВÌА i) (АÇВ)ÈС=АÇ(ВÈС)ÛСÌА j) АÈВ=АÇВÛА=В k) АD(ВDС)=(АDВ)DС l) АÇ(ВDС)=(АÇВ)D(АÇС) m) АD(АDВ)=В n) А\В=АD(АÇВ)
|