Критерий устойчивости Рауса — Гурвица

Этот критерий является алгебраическим. В форме, предложенной Гурвицем (1895), из коэффициентов характеристического уравнения (5-4) составляется квадратная матрица (таблица) Гурвица, имеющая N столбцов и строк,

правило построения которой очевидно. Отсутствующие коэффициенты заменяются нулями.

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры Δ_n матрицы (определители Гурвица) были положительны:

, , …, (5-9)

Вычисление определителей Гурвица довольно трудоемко при . В этом случае удобнее форма Рауса (1875), для чего составляется таблица Рауса, имеющая N+1строку, правило построения которой очевидно из примера. Коэффициентам сотрицательными индексами соответствуют нули.

				…
				…
				…
				…
…	…	…	…	…

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса были положительны

, . (5-10)

Если система неустойчива, то число перемен знаков в первом столбце равно числу правых корней характеристического уравнения.

Критерий Рауса — Гурвица удобен для определения предельных значений параметров САР, при которых система находится на границе устойчивости. Эти значения находятся либо из условий , либо . Заметим, что в (5-9)

,

поэтому при система находится либо на границе апериодической устойчивости ( ), когда один из корней характеристического уравнения равен нулю, либо на границе колебательной устойчивости ( ), когда два сопряженных корня находятся на мнимой оси.

Пример 5-1 [1]. Рассмотрим условия устойчивости статической САР скорости двигателя. Передаточная функция разомкнутой системы равна

,

где — статический коэффициент усиления. Характеристическое уравнение (5-8) замкнутой системы в данном случае имеет вид

,

где , , ,

.

Определители Гурвица равны

,

,

Найдем предельный коэффициент k. Из условия получаем предельное значение k, при котором система находится на границе колебательной устойчивости,

(5-11)

где , .

Из условия , т. е. находим другое предельное значение (отрицательное и соответствует положительной обратной связи), при котором система находится на границе апериодической устойчивости. Анализируя полученный результат, приходим к выводу, что САР устойчива при

Из (5-11) следует, что предельный коэффициент усиления системы определяется лишь соотношением постоянных, времени. Заметим, что при , получаем минимальное значение .

На практике стремятся получить системы с весьма большими предельными коэффициентами усиления. Это объясняется желанием иметь у системы большой коэффициент усиления, что приводит, как увидим далее, к повышению точности регулирования. Поскольку, увеличивать коэффициент можно только до предельного, то и стремятся увеличить последний. Для такого увеличения, как следует из (5-11), нужно «раздвигать» постоянные времени. Например, при получаем . Однако этот путь практически нереален. Дело в том, что при конструировании аппаратуры стремятся уменьшить постоянные времени, и поэтому их дальнейшее уменьшение почти невозможно. Вполне возможно увеличить постоянные времени (например, для увеличения постоянной времени двигателя надо насадить на его ось массивный маховик, что приведет к увеличению момента инерции и, как следует из (3-9), к увеличению постоянной времени), однако это приведет к снижению быстродействия системы, что нежелательно. Наиболее общий путь увеличения предельного коэффициента усиления состоит в изменении структурной схемы САР (коррекции) путем введения дополнительных звеньев и контуров. Этот путь будет рассмотрен далее в гл. 7.