Оценки качества переходного процесса по частотным характеристикам

Эти оценки дают связь между некоторыми показателями переходной функции САР и ее вещественной частотной характеристикой (ВЧХ) .

Поскольку замкнутая система устойчива, то ее передаточная функция не имеет полюсов в правой полуплоскости и на мнимой оси. Поэтому используя обратное Фурье-преобразование, получаем (см. (6-11))

, (6-12)

где R, I — соответственно вещественная и мнимая части передаточной функции САР. По формуле (6-12) получены следующие оценки.

1. Начальное и установившееся значения равны

,

,

что легко получается из теорем о начальном и конечном значении (см. § 3-3).

2. Критерий малых перерегулирований.

Чтобы величина перерегулирования была не больше 18%, достаточно, чтобы ВЧХ замкнутой системы была непрерывной положительной невозрастающей функцией (рис. 6-4,а).

В самом деле, выражение (6-12) можно представить в виде ряда

, (6-13)

при этом функция на интервале либо положительна, либо отрицательна. Поскольку , то ряд (6-13) является знакопеременным убывающим, поэтому, ограничиваясь в нем первым членом, получаем

Рис. 6-4

3. Критерий монотонности.

Чтобы была монотонной функцией, достаточно, чтобы ВЧХ замкнутой системы была положительной функцией с отрицательной и монотонно возрастающей производной (рис. 6-4,б).

4. Критерий для нижней границы времени регулирования.

Если на интервале частот (рис. б-4,в),

то .

5. Наличие резкого экстремума на частоте в ВЧХ (рис. 6-4, в) свидетельствует о колебательном процессе с собственной частотой, близкой к .

Чтобы воспользоваться указанными оценками качества, необходимо иметь . Между тем в распоряжении чаще всего имеется ЛАЧХ и ФЧХ разомкнутой системы и . Нетрудно указать связь между этими характеристиками.

Поскольку комплексный коэффициент разомкнутой системы можно представить в виде (3-24), то для замкнутой системы

.

Освобождаясь от иррациональности в знаменателе, получаем

(6-14)

По этой формуле построены R-номограммы (рис. 6-5), по которым легко построить , имея и . При этом значения амплитудно-частотной характеристики разомкнутой системы даны в децибелах.

Значения ФЧХ даны как для положительных, так и для отрицательных значений фазы, поскольку входящая в (6-14) функция является четной. Заметим, что независимо от фазы φ, как следует из (6-14):

при дб,

при дб.

Рис. 6-5

Поэтому диапазон называют существенным динамическим диапазоном САР: если логарифмические характеристики двух САР совпадают и этом диапазоне и различаются вне его, то их ВЧХ различаются не более чем на 2,5%. Различие же в их .переходных функциях будет столь же незначительным [3]. Таким образом, качество САР полностью определяется характером частотных характеристик в указанном динамическом диапазоне.

В ряде случаев (при расчете следящих систем, а также находящихся под действием периодических возмущений) используют упрощенное суждение о качестве по значению показателя колебательности

,

которое связано с показателями качества, рассмотренными в § 6-2. Считают, что для удовлетворительного качества переходного процесса максимальное перерегулирование должно быть

.

При этом, если амплитудно-частотная характеристика исследуемой системы близка к аналогичной характеристике колебательного звена, которое можно характеризовать показателем колебательности , и частотой резонансного пика , то для обеспечения перерегулирования в указанном диапазоне достаточно обеспечить [2]

или запас по фазе (находится из и )

.

Последнее условие широко применяют на практике.

§ 6-3-1. Оценка качества САР с типовой ЛАЧХ по номограммам

Если система является минимально-фазовой и имеет типовую ЛАЧХ (см. рис. 6-6, где цифры показывают наклон асимптот), то все указанные в § 6-2 показатели переходной функции могут быть найдены из номограмм [2]. Если ЛАЧХ отличается от типовой вне диапазона , то использование номограмм приведет к весьма незначительной погрешности.

Типовую ЛАЧХ можно полностью определить шестью параметрами

,	,		,	наклон АВ,	наклон CD,	(6-15а)

Рис. 6-6

Каждой ЛАЧХ с указанными параметрами соответствует вполне определенная передаточная функция типа

(6-15б)

Задавая значения параметров (6-15а), можно рассчитать для соответствующей системы (6-15б) переходную функцию и указать показатели качества .

Вначале по отношению находят нужную группу номограмм. При этом оказывается, что достаточно иметь всего пять групп номограмм для . Затем по наклонам асимптот АВ и СD (см. рис. 6-6) находят саму номограмму. Таких номограмм в группе, очевидно, может быть четыре. Общее количество номограмм, следовательно, равно 20. На номограмму нанесены значения остальных трех параметров, причем, для величины μ — дискретно ( ).

Номограмма (пример ее показан на рис. 6-7) состоит из двух частей. По верхней номограмме в зависимости от и μ Можно найти и М_т. По нижней номограмме находят и , а также , . Зная , легко найти .

Если действительное значение μ отличается от данных на номограмме дискретных значений, то пользуются линейной интерполяцией.

Рис. 6-7