Интегральные оценки качества переходного процесса

Оценки основаны на использовании интегралов по времени от ошибок регулирования и функций от них. В общем виде интегральная оценка имеет вид

(6-18)

где — ошибка регулирования;

— ее установившееся значение.

Функцию Р в (6-18) выбирают так, чтобы оценка вычислялась наиболее просто и в то же время характеризовала качество САР, при этом оценку находят косвенным образом, не находя . Понятно, что чем меньше ошибка регулирования (по амплитуде и по длительности), тем качественнее системы, тем меньше должна быть величина в (6-18).

Наиболее просто вычисляются интегральные оценки, когда ошибка регулирования определяется в режиме отработки единичного ступенчатого воздействия. В этом случае , поэтому для астатических по отношению к воздействию систем, где , интегральная оценка принимает более простой вид

Наибольшее распространение получили оценки:

(6-19)

— линейная интегральная оценка,

(6-20)

— квадратичная интегральная оценка.

В последнее время в связи с развитием аналитического конструирования систем регулирования начинают приме­няться также оценки вида

— обобщенные интегральные оценки, где V — квадратичная форма вида

при этом — весовые коэффициенты.

Однако каждая отдельно вычисленная оценка в виде числовой величины или выраженная через параметры системы ничего не говорит о качестве системы и тем более не дает возможности определить такие показатели качества переходного процесса, как и др. Конечно, чем меньше оценка, тем лучше система (для идеальной системы регулирования, в которой не возникает ошибок даже в переходных процессах, ), поэтому если в системе имеется возможность менять параметры (рис. 6-10,а), то из двух возможных наборов параметров и надо выбрать тот, который дает наименьшую оценку (на рис. 6-10,б видно, что при наборе параметров система имеет лучшее качество переходного процесса при отработке единичного ступенчатого воздействия). Таким образом, основная ценность метода интегральных оценок качества состоит в возможности улучшения системы, которое осуществляется следующим образом.

Рис. 6-10

Находится , затем из необходимых условий минимума функции от переменных

, (6-21)|

получают систему уравнений для определения оптимальных по критерию минимума выбранной оценки параметров системы . Если при этом получится, что некоторые оптимальные параметры должны быть равны нулю (или бесконечности), то их значения при установке в системе минимизируют (или максимизируют).

Наиболее просто можно найти оценку (6-19):

.

Однако при этом должна быть гарантия, что переходный процесс в системе не имеет перерегулирований, иначе можно получить в системе, весьма далекой от идеальной (на рис. 6-10 процесс при имеет нулевую площадь).

Надежные результаты дает оценка (6-20). Этими оценками стали широко пользоваться в конце 40-х годов при проектировании систем управления летательными аппаратами. Оценку также довольно просто найти:

(6-22а)

где

(6-22б)

Вычисление покоэффициентам полиномов и приводит к выражению

(6-22в)

По выражению (6-22в) составлены таблицы для (см. табл. 6-1 для ). Обратим внимание, что в знаменателе (6-22в) стоит старший определитель Гурвица (см. § 5-3), поэтому для устойчивых систем, когда , , а для систем, находящихся на границе устойчивости, когда , .

Таблица 6-1

Пример 6-3. Расчет системы программного регулирования температуры по критерию минимума .

Схема САР показана на рис. 1-9, а ее структурная схема — на рис. 6-11. Поскольку САР является астатической, то воспользуемся выражением (6-20)

Рис. 6-11

,

где ошибка регулирования имеет изображение

,

где - Поэтому полиномы (6-22б)равны

,

.

Таким образом, для находим по табл. 6-1.

.

Поскольку в системе имеется возможность изменять параметр k (за счет изменения ), то из условия минимума (6-21)

получаем квадратное уравнение

Выбираем только положительное значение k, являющее оптимальным для рассмотренной системы

,

Заметим, что предельное значение параметра k, найденное, например, по критерию Гурвица

.

Интересно, что при получаем .

Глава 7

СТАБИЛИЗАЦИЯ И ЭЛЕМЕНТЫ СИНТЕЗА САР

При синтезе САР считается, что основные элементы системы (объект управления, датчики, исполнительные устройства) заданы, и необходимо так провести ее коррекцию, чтобы обеспечивалось требуемое качество системы как-то: заданные точность, быстродействие, запас устойчивости.

Решение задачи синтеза, вообще говоря, неоднозначно поскольку можно создать несколько САР, удовлетворяющего заданным показателям качества, но имеющих разную коррекцию. Проектировать САР надо так, чтобы корректирующее устройство (КУ) было наиболее простым, а сама коррекция наиболее просто осуществлялась.

В настоящее время наибольшее распространение получили методы коррекции с использованием логарифмических характеристик, причем для минимально-фазовых систем достаточно использовать только ЛАЧХ. Идея этих методов показана на рис. 7-1.

На основе технического задания (ТЗ) строится ЛАЧХ скорректированной системы . Одновременно по известным характеристикам исходной системы (без коррекции) строится . На основе сравнения обеих ЛАЧХ а также из соображений простоты дальнейшей технической реализации коррекции выбирается схема коррекции (последовательная, с обратной связью, комбинированная), после чего находится ЛАЧХ корректирующего устройства и производится выбор КУ. Рассматривая различные варианты схемы коррекции и соответствующие КУ, выбирают наилучший.

В ТЗ на систему обычно приводят:

1) условия точности:

а) допустимую ошибку при отработке системой задающего гармонического воздействия (обычно для следящих систем) с максимальной амплитудой и частотой или произвольного воздействия с максимальными скоростью и ускорением ,

Рис. 7-1

б) порядок астатизма системы или требования отсутствия статических, иногда кинетических ошибок;

2) условия быстродействия: время регулирования при отработке скачкообразных (ступенчатых) воздействий или частоту среза системы;

3) условия запаса устойчивости: запас по фазе и по модулю , либо допустимое перерегулирование при отработке ступенчатого воздействия, либо коэффициент колебательности М_т (обычно для следящих систем).