НА ПОСТРОЕНИЕ

Любую задачу на построение можно сформулировать в общем виде так: «Построить объекты а₁, а₂…, являющиеся элементами множества Ми удовлетворяющие условиям 1, 2 …». Число объектов и условий зависит от конкретного содержания задачи.

Элементы множества М, удовлетворяющие условию 1, образуют некоторое подмножество М₁ М, условие 2 выделяет из М подмножество М₂ и т. д. Искомые объекты получаются как результат пересечения подмножеств М₁, М₂, …, т. е. {а₁, а₂, …}=М₁ М₂ … .

Задача 1. Построить на плоскости точки а₁, а₂, удаленные от данной точки О₁на расстояние r₁ и от точки О₂на расстояние r₂ (рис. 7).

Подмножество М₁, выделяемое из плоскости М (здесь плоскость – это множество М) согласно первому условию, – это окружность с центром О₁и радиусом R₁. Аналогично, М₂ – это окружность с центром О₂и радиусом R₂. Тогда получают искомые точки: {а₁, а₂}=М₁ М₂.

Задача 2. Найти на плоскости точку а, удаленную на расстояние rот точки О и равноудаленную от точек А и В.

Подмножество М₁, выделяемое первым условием из плоскости М, - окружность с центром О и радиусом r. Подмножество М₂, удовлетворяющее второму условию, – перпендикуляр, восстановленный к середине отрезка АВ. Искомая точка а есть пересечение окружности с перпендикуляром, то есть а=М₁ М₂. В данном случае может получиться две, одна или ни одной точки (мнимые) пересечения М₁ М₂=Æ (рис. 8, а, б, в).

Такой метод называется расчленением условий, то есть элементы из М, удовлетворяющие первому условию, образуют некоторое подмножество; взятое отдельно второе условие выделяет из множества Мдругое подмножество и т. д. Искомые объекты получаются как результат пересечения этих подмножеств.

Задача 3.Найти прямую пересечения двух плоскостей L и N(рассматривают L и N как подмножества пространства, элементом которых является точка). Задают вспомогательную плоскость-посредник М и находят пересечение этих подмножеств L N M (рис. 9). Пользуясь свойством идемпотентности, преобразуют: L N M = L N (М М), и далее, пользуясь свойствами коммутативности и ассоциативности, преобразуют: L N (М М)=(L М) (М N). Другими словами, введя плоскость-посредник, находят вначале пересечение посредника с заданными плоскостями (прямые l, n), а затем пересечение этих пересечений (точка Р).

Взяв другую вспомогательную плоскость G и повторив те же самые операции, находят вторую точку Q. Соединив точки Р и Q, получают искомую прямую m. Этот прием применяют в начертательной геометрии при построении точек линии пересечения поверхностей, введя предварительно поверхность-посредник.