КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Некоторые собственные подмножества бесконечного множества можно взаимно однозначно отобразить на это множество.
Для примера рассмотрим отображение открытого отрезка АВ (открытый отрезок – «отрезок без концов», координаты которого удовлетворяют неравенству xA< xi< xB) на прямую, которая совпадает с прямой АВ(рис.12). Полуокружность CDкасается в точке середины отрезка АВ. Вначале отображают точки отрезка АВ на эту полуокружность из точки S1, то есть точке М1 соответствует точка М).
Затем точки полуокружности (см. точку М) отображают на прямую (точке Мсоответствует точка М2) из центра S2. Ясно, что при этом каждой точке прямой соответствует одна и только одна точка прямой, причём ни одна точка на прямой не пропущена. Это отображение является взаимно однозначным, то есть отрезку прямой соответствует вся прямая.
Полученное соответствие можно установить и по-другому, с помощью кривой тангенсоиды, графика функции y = tg x. Отображают вначале (с помощью пучка параллельных прямых) открытый отрезок (- 
) на тангенсоиду, причём каждой точке открытого отрезка соответствует единственная точка тангенсоиды, а затем точки тангенсоиды на ось y (рис. 13).
Замечание 2.Размерность суммы (объединения) нескольких бесконечных множеств принимают равной максимальной из размерностей слагаемых.
Другими словами, размерность множества не увеличится, если к нему добавить множество меньшей или равной размерности. Например, если объединить множество точек прямой и множество точек плоскости (то есть вложить прямую в эту плоскость), то размерность множества точек на плоскости не увеличится.
Рассмотрим еще примеры сравнения бесконечных множеств. Ответ на вопрос: где больше точек, на отрезке длиной 1 мм или на отрезке 1 м вряд ли бы вызвал тень сомнения – ясно, что отрезок 1 мм в 1000 раз короче метра. Однако можно установить взаимно однозначное соответствие и проверить это. Как это сделать, лучше всего видно на рис. 14.
Отобразим отрезок АВ на отрезок СD из точки Опучком прямых. Каждой точке отрезка АВ соответствует единственная точка отрезка CD. Трудно примириться с мыслью, что дорога в миллион световых лет имеет столько же точек, сколько радиус атомного ядра!
3. Степени свободы подпространств.Если две точки пространства Еm принадлежат Еn, то Еm называется подпространством Еn. Например, m=1, n=2 – прямая принадлежит плоскости, тогда прямая является подпространством плоскости, очевидно, что m<n. В многомерной геометрии наиболее распространена следующая терминология: Еn– объемлющее n-мерное пространство, Еm – m-мерная плоскость или m-плоскость, если размерность подпространства меньше объемлющего пространства на единицу, то такое многообразие называется (n-1)-плоскость, или гиперплоскость.
Из аксиом принадлежности следует, что прямая (1-плоскость) определяется двумя точками, 2-плоскость – тремя неколлинейными точками, 3-плоскость – четырьмя некомпланарными точками, …, n-плоскость – (n+1)-точками. При этом каждая плоскость (где m<n) определяется заданием (m+1)-точек, и эти точки не должны содержаться в (m-1)-пространстве.
Рассмотрим множество m-плоскостей Еn (где n – размерность пространства), элементом этого множества является m-плоскость. Начнем с простого примера – прямой, находящейся в двумерном пространстве.
ДВУМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО. Точка (0-плоскость) в двумерном пространстве определяется двумя координатами, то есть параметрическое число равно двум - 
.
Прямая (1-плоскость) однозначно задается двумя независимыми точками А и В (то есть m+1=1+1=2), каждая из которых в двумерном пространстве имеет по две степени свободы. Поэтому на задание каждой из них затрачиваем по два параметра, а на пары (или m+1-точек) точек – следующее число параметров: n(m+1)=2(1+2)=4 (рис.15). Другими словами, говорят, что система из (m+1)- точки составляет n(m+1)-параметрическое множество.
Но прямая АВопределяется не только парой точек Аи В, но и любой другой своей парой, принадлежащей прямой АВ. Каждая из этих двух точек (m+1-точек), находясь на прямой (в общем случае в m-плоскости), имеет по одной степени свободы (в общем случае – m степеней свободы), а вместе – m(m+1)=1(1+1)=2 степеней свободы.
Следовательно, число условий, требуемых для определения прямой (m-плоскости), принадлежащей 2-пространству (n-плоскости):
;
в общем случае 
.
Таким образом, число Р степеней свободы (параметрическое число) m-плоскости в n-пространстве:
Р=(n-m)(m+1).(1)
Геометрический смысл параметров может быть различным. Например, для двупараметрического множества прямых на плоскости это могут быть хА, yВ(рис. 16, а) или хА, 
(рис. 16, б).
ТРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО. Точка (0-плоскость) в трехмерном пространстве имеет три степени свободы - 
. Прямаяоднозначно задается двумя независимыми точками (рис. 17, а), каждая из которых в 3-пространстве имеет по три степени свободы, а значит, пар точек 
. Но эта прямая определяется не только этой парой точек, но и любой другой своей парой, имеющей на этой прямой по одной степени свободы, то есть 
. Следовательно, число степеней свободы прямой в 3-пространстве 
, что соответствует формуле Р=(n-m)(m+1)=(3-1)(1+1)=4.
Плоскость однозначно задается тремя точками, каждая из которых имеет по три степени свободы, а значит, троек точек: 
(рис.17, б). Но плоскость определяется не только этой тройкой, но и любой другой своей тройкой точек, имеющих в этой плоскости по две степени свободы, то есть 
. Тогда параметрическое число плоскости, находящейся в 3-пространстве, будет составлять трехпараметрическое множество, то есть 
, что соответствует формуле Р=(3-2)(2+1)=3.
Вообще это число (n-m)(m+1) стоит на месте (к+1) меньше в n-й строке «подвешенной за угол» таблице умножения, такая таблица называется «Треугольник Паскаля» (рис. 18).
Примеры различных геометрических многообразий
1. Сфер в пространстве Е3 - 
, так как сфере соответствует четыре числа – три координаты ее центра и одно – длина её радиуса.
2. Цилиндр вращения в пространстве Е3 определяется пятью параметрами 
- четыре параметра на ось и один на радиус.
3. Треугольников в пространстве Е3 – 
, поскольку треугольник однозначно определен, если заданы три его вершины тройкой координат 3∙3=9. Аналогично, тетраэдров в 3-пространстве - 
.
4. Сфер в трёхмерном пространстве, проходящих через данную точку, - 
, то есть центров, лежащих на прямой, составляет - 
, а таких прямых – связка 
.
5. Сфер, касающихся плоскости - .
6. Окружностей на плоскости - .
7. Множество касательных плоскостей к поверхности - (за исключением развертывающихся ).
8. Окружностей в 3-пространстве - .
4. Связывание параметров. Если на элементы n-мерного многообразия М (например, М-связка прямых) наложено определенное условие (например, прямые связки М должны пересекать произвольную прямую), причем элементы из М, которые удовлетворяют этому условию, образуют n1-мерное подмножество М1 
М (пучок прямых, определяемых центром связки и произвольной прямой, не проходящей через центр), то это условие (требование, ограничение) равносильно фиксированию n-n1 параметров, то есть приданию этим параметрам определенных числовых значений. Это означает, что, фиксируя n-n1 параметров, мы выделяем из М подмножество той же размерности n1. В этом случае говорят не о фиксации, а о связывании параметров, употребляя выражения: «условие связывает n-n1 параметров», «ограничение поглощает n-n1 параметров», «требование накладывает на параметры n-n1 связей (понижает размерность многообразия на n-n1)».
Аналитически такое задание эквивалентно тому, что n-ки параметров, соответствующие элементам из М, удовлетворяют n-n1 уравнениям. Аналогично, фиксируя две (три) координаты или связывая координаты двумя (тремя) параметрами (уравнениями), мы выделяем из трехмерного пространства его одномерное (нульмерное) подмножество.
Пусть m-плоскость (m-плоскость определяется (m+1) фиксированной точкой) проходит через пространство r, которое задается (r+1) фиксированной точкой. Тогда для полного определения необходимо дозадать еще (m+1)-(r+1)=m-r точек. Поэтому число Р степеней свободы m-плоскости, принадлежащей n-мерному пространству и проходящей через r-плоскость:
Р=(n-m)(m-r). (2)
ПРИМЕР 1.Множество прямых (m=1) плоскости (n=2), проходящих через точку (r=0), составляет пучок, то есть однопараметрическое множество: Р=(n-m)(m-r)=(2-1)(1-0)=1.
ПРИМЕР 2.Множество прямых (m=1) пространства (n=3), проходящих через точку (r=0), составляет связку: Р=(3-1)(1-0)=2.
ПРИМЕР 3.Множество плоскостей (m=2) трехмерного пространства (n=3), проходящих через точку (r=0), составляет связку: Р=(3-2)(2-0)=2.
ПРИМЕР 4.Множество прямых пространства (n=3), пересекающих прямую, рассчитывается следующим образом. Вначале считают, сколько прямых проходит через точку, – связка Р1=2 (см. пример 3), затем считают, сколько связок (m=2) в трехмерном пространстве на прямой Р1=(3-2)(2-1)=1. Следовательно, прямые, пересекающие заданную прямую, составляют комплекс Р=Р1+Р2=1+2=3.
В пространстве Еn m-пространство имеет (n-m)(m+1) степеней свободы, но если оно проходит через r-пространство, то оно имеет (n-m)(m-r) степеней свободы. Следовательно, число условий, необходимых для того, чтобы m-пространство в Еnпроходило через данное r-пространство (где n>m>r):
D=(n-m)(m+1)-(n-m)(m-r)=(n-m)(r+1).(3)
ПРИМЕР 5.В трехмерном пространстве (n=3) число условий, необходимых для прохождения прямой линии (m=1) через данную точку (r=0): D=(n-m)(r+1)=(3-1)(0+1)=2. Другими словами, множество прямых трехмерного пространства четырехпараметрично (Р1=(3-1)(1+1)=4), а в связке (множество прямых, проходящих через точку) – двупараметрично (Р2=(3-1)(1-0)=2). Поэтому число условий D, которые требуется наложить на прямые, чтобы они принадлежали данной связке, равно разности Р1-Р2, то есть D=4-2=2.
Если r-пространство не фиксировано и имеет степени свободы в q-пространстве, равное (r+1)(q-r), следовательно, число условий, которое необходимо наложить, чтобы m-пространство и q-пространство в пространстве Еn пересекались по r-пространству:
(n-m)(r+1)-(r+1)(q-r)=(r+1)(n-m-q+r),(4)
где m+q 
n+r, если m+q>n+r, то они пересекаются по пространству размерности m+q-n, что больше, чем r.
ПРИМЕР 6. Применение формулы (4) покажем на примере определения количества направляющих линейчатой поверхности (в качестве направляющих для простоты возьмем прямые). Требование пересечения образующей линии (m=1) с одной направляющей прямой (q=1) в точке (r=0) равносильно числу условий, накладываемых на образующую и вычисляемых так: D=(3-1-1+0)(0+1)=1. Поэтому для выделения из четырехпараметрического множества прямых трёхмерного пространства линейчатой поверхности (однопараметрического множества прямых) необходимо задать три направляющие (n-n1=4-1=3).
ПРИМЕР 7. Коническая поверхность определяется вершиной одной направляющей. Как было показано (пример 6), пересечение образующей с направляющей линией в точке равносильно наложению на образующую одного условия. Прохождение образующей через вершину равносильно наложению двух условий и подсчитывается по формуле (3): (3-1)(0+1)=2. В сумме эти требования накладывают на прямую три условия и выделяют из четырехпараметрического множества прямых пространства коническую поверхность.
5. Размерность пересечения. Пусть М – n-мерное множество, М1 и М2 – его подмножества размерности m1, m2, выделенные условиями, связывающими соответственно (n-m1) и (n-m2) параметров.
Оба эти условия вместе связывают: (n-m1)+(n-m2)=2n-m1-m2 параметров. Поэтому размерность пересечения множеств М1 и М2, элементы которых удовлетворяют обоим условиям: n-(2n-m1-m2)=m1+m2-n.
n 
=m1+m2-n,(5)
то есть размерность пространства пересечения равна сумме размерностей пересекающихся пространств без размерности операционного пространства.
Если пересекаются i пространств, то применяется следующая формула:
;
,(6)
то есть размерность пространства пересечения равна сумме размерностей пересекающихся пространств без размерности пространства пересечения, взятой i -1 раз, где i – число пересекающихся пространств.
Условия применения при использовании этой формулы:
1. Если оказалось, что размерность меньше нуля, это означает, что заданные множества не пересекаются.
2. Следует иметь в виду, что формула справедлива лишь для подмножеств М1 и М2общего положения. Например, если М1и М2 –прямые, а n – трехмерное пространство, то n1=n2=1, n=3, а r= -1, то есть М1и М2 не пересекаются, хотя в частном случае две прямые могут иметь общую точку и даже совпадать (если прямые принадлежат одной плоскости).
3. В случае r=0 (нульмерным называется множество, состоящее из конечного числа элементов), поэтому, получив такой результат, не следует думать, что множество пересечений состоит из одного элемента; это возможно, но возможно также, что оно состоит из двух, трех и любого конечного числа элементов.
Дата добавления: 2015-09-15; просмотров: 162; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав |