ФОРМИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВА

ДВУМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО. Для геометрического построения пространства Е₂возьмем точку, не принадлежащую прямой n (или пространство Е₁), и установим взаимно однозначное соответствие между прямыми пучка и точками прямой. Объединение точек всех этих прямых (вместе с их несобственными точками) будет определять двумерное пространство Е₂(рис. 11, а). Если не учитывать несобственные точки, то пришлось бы «выбросить» из Е₂ прямую, параллельную прямой n.

ТРЁХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО. Для геометрического построения пространства Е₃возьмем точку, не принадлежащую пространству Е₂ (то есть плоскости) и также установим взаимно однозначное соответствие между прямыми связки и точками 2-пространства (рис.11, б). Объединение точек всех этих прямых (вместе с их несобственными точками) есть трехмерное пространство Е₃. Пространство Е₂(как и в первом случае пространство Е₁) является проективным пространством, то есть пространство, дополненное несобственными элементами. В противном случае из связки нам пришлось бы «выбросить» пучок прямых, параллельных Е₂, а из Е₃ –плоскость этого пучка.

ЧЕТЫРЁХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО. Начнем с аналогичного построения четырехмерного пространства Е₄. Возьмем точку, не принадлежащую трехмерному евклидову пространству Е₃, дополненному несобственными элементами, и установим взаимно однозначное соответствие между прямыми гиперсвязки и точками 3-пространства (рис.11, в). Объединение точек всех этих прямых будет определять пространство Е₄. Аналогично строится многомерное пространство.

Таким образом, мы пришли к идее многомерного пространства. Понятие многомерного пространства или многомерного множества довольно абстрактное, но и в евклидовом пространстве на каждом шагу встречаются такие множества. Например, прямая – одномерное множество точек (самое простое множество), множество сфер и множество прямых трёхмерного пространства – четырехмерны, множество конусов вращения – шестимерно; цилиндров вращения – пятимерно; множество сфер, касающихся данной плоскости, - трёхпараметрическое множество.

Рассмотрим подробнее примеры и приемы подсчета параметров.

1.6. ПРИЁМЫ ПОДСЧЕТА ПАРАМЕТРОВ

1. Эталон n-мерного множества. За эталон n-мерного множества принимают множество R_n, элементом которого служит n-ка вещественных чисел а₁, а₂, а₃, …, а_n, то есть n-я декартова степень множества вещественных чисел.

2.Взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение данного множества на эталон. Например, устанавливая взаимно однозначное соответствие между прямыми связки и точками плоскости или устанавливая взаимно однозначное соответствие между пучком плоскостей и точками прямой.

Два важных замечания

Замечание 1. Для бесконечных множеств имеют место два факта, кажущиеся на первый взгляд парадоксальными, поскольку они не имеют места для конечных множеств.