Нормальні напруження при чистому згині

Вже відзначалося, що нормальні та дотичні напруження, які одночасно можуть

виникати в нормальному до осі перерізі балки, пов’язані з моментами та перерізуючою

силою відповідно.

Розглянемо випадок так званого чистого згину, який виникає на ділянці за умов Q = 0

та M = const . Такий випадок можна відтворити, наприклад, при навантаженні балки, зображеної на рис. 8.

Рис. 8. Приклад чистого згину Q = 0, Мзг ≠ 0.

Для виведення формул нормальних напружень при згині σ домовимося розглядати

випадок чистого згину.

Розглянемо, як деформується балка в умовах чистого згину. Досвіди дослідження деформацій при згині балок, показують, що:

1) подовжні лінії викривляються по дузі кола;

2) поперечні лінії залишаються прямими і при цьому не змінюють свою довжину;

3) контури поперечних перерізів балки залишаються плоскими;

4) лінії контурів перерізів скрізь перетинаються під прямим кутом.

На підставі цих спостережень, можна зробити висновок, що при чистому згині поперечні перерізі балки залишаються плоскими і повертаються так, що залишаються нормальними до вигнутої осі балки (рис. 9). Таким чином, при згині, як і при розтязі-стиску, справедлива гіпотеза плоских перерізів, що має назву „гіпотези Бернуллі”.

Рис. 9

Дослідження деформування балок в умовах згину показує, що при навантаженні балки від’ємним згинальними моментами верхні волокна балки подовжуються, нижні – коротшають, додатнім – навпаки. При цьому можна знайти волокна, довжина яких залишається незмінною. Сукупність таких волокон утворить деякий шар, що називається нейтральним. Кожен поперечний переріз перетинається з нейтральним шаром по прямій, що називається нейтральною лінією перерізу.

При плоскому згині нейтральний шар виявляється перпендикулярним до силової площини, отже, нейтральна лінія перпендикулярна до силової лінії у перерізі, при цьому вона перетинає центр ваги перерізу. Таким чином, нейтральна лінія збігається з головною центральною віссю перерізу і називається нейтральною віссю.

Використовуємо гіпотезу плоских перерізів для визначення нормальних напружень при чистому згині (рис. 8). Для цього виділимо елемент, обмежений двома поперечними перерізами, на відстані dx (рис. 8,а). Торцеві перерізі при деформуванні залишаться плоскими і при

цьому повернуться на деякий кут dφ (рис. 10,б).

Прямолінійний відрізок нейтрального шару А ₀ В ₀ перетворюється в дугу А ₁ В ₁ з радіусом r, при цьому він не змінить своєї довжини. Волокно АВ, що знаходиться на відстані у від нейтрального шару перейде в дугу А₂В₂ радіуса r+у, при цьому він змінить

вою довжину. Відносне подовження цього волокна буде:

з урахуванням того,що

Рис. 10

і скоротивши на dφ, одержуємо вираз для знаходження відносної деформації волокна на відстані у від нейтрального шару:

. ( 2 )

Тепер розглянемо, в якому напруженому стані знаходиться досліджуване волокно АВ. У поперечних перерізах немає дотичних напружень, тому що при чистому згині відсутня поперечна сила. З урахуванням парності дотичних напружень їх немає й у перерізах,

рівнобіжних осі балки. Нормальні напруження в перерізах, рівнобіжних осі балки, так само дорівнюють нулю, тому що, відповідно до гіпотези плоских перерізів, лінійні деформації у перпендикулярному осі напрямку відсутні. Таким чином, волокно АВ знаходиться в лінійному напруженому стані (розтяг-стиск). У цьому випадку напруження і відносні деформації зв'язані між собою за законом Гука : .

У результаті чого, замінивши в цьому співвідношенні відносну деформацію, відповідно до отриманої залежності, маємо:

(3)

Підставляючи отриману залежність (3) у друге рівняння співвідношення (1) і з огляду на те, що модуль пружності й кривина нейтральної осі постійні в розглянутому перерізі і їх можна винести за знак інтеграла, одержуємо:

.

Так як інтеграл являє собою момент інерції перерізу щодо нейтральної осі (осі z) попереднє співвідношення можна представити у вигляді:

(4)

Отриманий вираз зв'язує між собою кривину осі балки і згинальний момент, що діє в перерізі. Аналізуючи (4), можна зробити висновок, якщо балка виготовлена з однорідного матеріалу, і має постійний поперечний переріз, то при чистому згині вісь її викривляється по дузі кола. При цьому кривина і згинальний момент прямо пропорційні, а

Величина називається жорсткістю при згині.

Підставимо (4) в (3) і одержимо: (5)

Рис.11. Розподіл нормальних напружень по висоті перерізу

Ця формула дозволяє знаходити нормальні напруження при чистому згині в будь-якій точці перерізу. У випадку прямого згину, коли деформування відбувається у площині головних центральних осей, індекс z в осьовому моменті інерції перерізу часто опускають.

Отримане співвідношення між нормальними напруженнями і згинальними моментами дозволяє зробити висновок, що яку б форму і розміри не мав поперечний переріз, напруження в точках, що знаходяться на нейтральній осі (у=0), дорівнюють нулю. Величина нормального напруження лінійно зростає в міру віддалення від нейтральної осі. При цьому напруження не змінюються по ширині перерізу. Отже, максимальна і мінімальна величина нормальних напружень для будь-яких перерізів, що мають горизонтальну вісь симетрії, буде збігатися з точністю до знака. У розрахунках на міцність мають значення найбільші за абсолютною величиною значення напружень, які виникають у волокнах, найбільшвіддалених від нейтральної осі:

(6)

- відстань від нейтральної осі до найбільш віддалених точок перерізу.

Відношення – осьовий момент опору.

Для круглого перерізу .

. (7)

Формула міцності при згинанні має вигляд

(8)

У випадку прямого згину індекс z в моменті опору перерізу часто опускають.

Практика показує, що при поперечному згині балок, коли в перерізі крім згинаючого моменту діє ще і поперечна сила, можна користатися формулами, отриманими для чистого згину. При цьому погрішність виявляється несуттєвою. Крім того, напруження, що обумовлені наявністю поперечної сили, можна досліджувати окремо.