Тема: Гіпотези міцності та їх застосування.

План

1. Призначення гіпотез міцності. Еквівалентні напруження. П’ять гіпотез міцності та їх сутність.

Студент повинен знати: сутність гіпотез міцності, методи визначення еквівалентних напружень.

Студент повинен вміти: визначати вид деформації та вид напруженого стану.

ЛІТЕРАТУРА ОСНОВНА

ЛІТЕРАТУРА ДОДАТКОВА

При першому знайомстві з механічними напруженнями відмічалося, що напруження в точці залежать від орієнтації перерізу. Сукупність напружень, що діють по різних площадках, проведених через точку, характеризують напружений стан у точці.

Оберемо довільну ортогональну систему координат і запишемо напру­ження, які діють у досліджуваній точці деталі на малих координат­них площадках (рисунок 1 а), у вигляді

(1)

Математичний об’єкт (1) називають тензором напружень .

Рисунок 1

У тій самій точці деталі уявно виріжемо тетраедр (рисунок 1 б), три грані якого – координатні площадки, а одна грань – довільно орієнтована площа­дка з нормаллю . Якщо заданий тензор , тобто задані напруження на ко­ординатних площадках, то з трьох рівнянь рівноваги ( , , ) сил, що діють на грані тетраедра, можна визначити три невідомі скла­дові повного напруження на довільній площадці. Оскі­льки таким чином можна визначити напруження на будь-якій площадці, то можна стверджувати:

Тензор напружень цілком визначає напружений стан у точці.

Тензор напружень симетричний відносно головної діагоналі:

; ; . (2)

Це можна довести з рівнянь рівноваги ( , , ) щодо моментів сил, які діють на грані малого кубика (рис. 1 а). Рівняння (2) відомі як закон парності дотичних напружень:

На будь-яких ортогональних площадках дотичні напруження,

перпендикулярні спільному ребру цих площадок, рівні за величиною

та спрямовані обидва до ребра або обидва від ребра.

Тензор напружень може бути приведений до діагонального виду

( ) (3)

Це означає, що у будь-якій точці деталі завжди знайдуться три ортогональні головні площадки, на яких немає дотичних напружень. Ці площадки розташовуються у площинах симетрії еліпсоїда, в який перетворюється кулька після деформування (рисунок 2).

Нормальні напруження на головних площадках називаються головними напруженнями.

Їм дають числові індекси відповідно з правилом

Головні напруження являються коренями характеристичного або, за іншою назвою, „вікового” рівняння тензора напружень:

. (4)

Головні напруження мають екстремальні властивості, тобто – найбільше, а – найменше за інші напруження на будь-яких площадках в даній точці деталі.

„Вікове” рівняння (4) завжди має три дійсні корені – головні напруження. Відповідно до кількості ненульових коренів класифікують види напруженого стану (НС):

· Одновісний (лінійний) НС – лише одне головне напруження ненульове.

· Двовісний (плоский) НС – два з трьох головних напружень ненульові.

· Трьохвісний (об’ємний) НС – всі три головні напруження ненульові.

Особливо можна виділити окремий випадок двохвісного НС –
чистий зсув:

Можна довести, що на площадках, однаково нахилених до головних площадок та (тобто під кутом ), діють максимальні дотичні напруження, величина яких

(5)

Ці дотичні напруження більші за всі , які діють на будь-яких інших площадках у даній точці деталі. Як ми узнаємо далі, на цьому важливому факті будується один з підходів щодо оцінки небезпечності напруженого стану в точці.

У загальному випадку всякому напруженому стану в точці деталі відповідає певний деформований стан, який представляє сукупність лінійних деформацій по різних напрямках та кутових деформацій на всіляко орієнтованих площадках. Аналогічно тензору напружень тензор деформацій
(6)

цілком визначає деформований стан у точці. Тензор деформацій має властивості, аналогічні властивостям тензора напружень . Головні деформації – це деформації у напрямках головних напружень .

Зв’язок між компонентами і встановлюють експериментально та формулюють у виді фізичного закону. Для пружного матеріалу при малих деформаціях напруження і деформації зв’язані лінійними залежностями, які називають узагальненим законом Гука (всього шість рівнянь (7), (8)):

; ;

; (8.7) ; (8)

; ,

де , , – пружні константи.

Наведені вище математичні залежності використовуються в уточнених розрахунках на міцність деталей при складному опорі. Разом з тим в інженерній практиці досить широке розповсюдження отримали розрахунки на міцність з використанням відповідних теорій міцності.

В багатьох елементах конструкцій, які мають складну геометричну форму або піддаються складному навантаженню, аналіз виявляє складний (2- або 3-вісний) напружений стан (НС) у певних точках цих конструкцій. У таких випадках виникають дві пов’язані проблеми:

По-перше, за якою мірою (критерієм) порівнювати напружені стани? Наприклад, який НС, серед наведених на рисунку 8.3, найбільш небезпечний?

Рисунок 3

По-друге, як при зростанні навантаження прогнозувати граничний напружений стан, наприклад, початок пластичного деформування або початок крихкого руйнування? Це проблема оцінки коефіцієнта запасу при складному НС.

Легко звести ці дві проблеми до однієї за допомогою поняття про
еквівалентне напруження:

– це таке напруження простого розтягу, яке за обраним

критерієм є рівнонебезпечним даному складному напруженому стану.

Маючи правило підрахунку , з двох складних НС будемо вважати більш небезпечним той, для якого більша величина , а граничним будемо вважати такий НС, для якого або . Умова міцності запишеться у виді .

Розглянемо лише кілька найбільш розповсюджених у практиці інженерних розрахунків критеріїв, за допомогою яких вирішуються поставлені проблеми.

Критерій максимальних дотичних напружень (Треска – Сен-Венана)

(ІІІ-й за історичною нумерацією у підручниках і довідниках)

Згідно з цим критерієм вважають: Граничний стан настає тоді, коли максимальні дотичні напруження (8.5) сягають характерного для даного матеріалу значення . Відповідно, більш небезпечною буде та точка деталі, де найбільше значення має .

Якщо застосувати формулу (5) для заданого складного НС та еквівалентного йому за величиною простого розтягу, то отримаємо таку формулу для еквівалентного напруження:

(9)

Застосуємо цей критерій для НС на рисунку 3 а. Такий тип двохвісного НС часто зустрічається в задачах на сумісну дію згину та кручення. Головні напруження знаходяться з «вікового» рівняння (4). Після їх підстановки у (9) отримаємо

(10)

У прикладі на рисунку 3 підрахунки дають ; , тобто перший НС більш небезпечний.

Критерій питомої потенційної енергії формозміни (Губера – Мізеса)

(ІV-й за історичною нумерацією у підручниках і довідниках)

Пояснимо деякі слова у назві критерію. „Питома” енергія означає, що енергія розраховується на одиницю об’єму. Потенційна енергія, накопичена у деформованій деталі, умовно розбивається на дві частини: одна пов’язана зі зміною об’єму, інша – тільки зі зміною форми. Енергія зміни об’єму виключається з розгляду, а за критерій береться лише питома потенційна енергія формозміни .

Згідно з IV критерієм вважають: Граничний стан настає тоді, коли питома потенційна енергія формозміни сягає характерного для даного матеріалу значення . Відповідно, більш небезпечною буде та точка деталі, де найбільше значення має .

Питання для самоконтролю

1. Дати визначення лінійного, плоского і об'ємного напружених станів. Навести приклади.

2. Які правила знаків вводяться для нормальних і дотичних напруг?

3. Доведіть, що сума нормальних напруг на двох довільних взаємно перпендикулярних площадках, що проходять через дану точку навантаже­ного тіла, величина стала.

4. Що таке головні площини і головні напруги?

5. Що таке октаедричні нормальна і дотична напруги та інтенсив­ність напруг? Для чого ці величини використовують в опорі матеріалів?

6. Що розуміють під небезпечним станом навантаженого тіла? Яка точка перерізу тіла називається небезпечною?

7. Що розуміють під гіпотезами міцності? Перелічіть відомі вам теорії міцності.

8. Сутність і область використання третьої теорії міцності? На­пишіть умову міцності за третьою теорією.

9. Сутність і область використання четвертої теорії міцності? Напиліть умову міцності за четвертою теорією.