Решение. Длина волны де Бройля для частицы зависит от ее импульса р и определяется формулой:

Длина волны де Бройля для частицы зависит от ее импульса р и определяется формулой:

λ. = h/р, (1)

где h – постоянная Планка.

Импульс частицы можно определить, если известна ее кинетическая энергия Т. Связь импульса с кинетической энергией различна для нерелятивистского случая (когда кинетическая энергия частицы много меньше ее энергии покоя) и для релятивистского случая (когда кинетическая энергия сравнима с энергией покоя частицы)

В нерелятивистском случае:

р = , (2)

где m₀ – масса покоя частицы.

В релятивистском случае:

р = , (3)

где Е₀ = m₀ с² – энергия покоя частицы.

Формула (1) с учетом соотношений (2) и (3) запишется:

в нерелятивном случае λ = , (4)

в релятивистском случае λ = (5)

Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов U₁ = 51 В и U₂ = 510 кВ, с энергией покоя электрона и в зависимости от этого решим, какую из формул (4) или (5) следует применить для вычисления длины волны де Бройля.

Как известно, кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U,

Т = е U.

В первом случае Т₁ = е U = 51 эВ = 0,51*10^-4 МэВ, что много меньше энергии покоя электрона Е₀ = m₀ с² = 0,51 МэВ. Следовательно, в этом случае можно применить формулу (4). Для упрощения расчетов заметим, что Т₁ = 10^-4 m₀ с². Подставив это выражение в формулу (4), перепишем ее в виде:

λ = = .

Учитывая, что λ. / m₀ с есть комптоновская длина волны Λ, получаем:

λ ₁ = 10² Λ/ .

Так как Λ = 2,43 пм , то

λ ₁ = 10²* 2,43 / пм = 171 пм.

Во втором случае кинетическая энергия Т₂ = е U₂ = 510 кэВ = 0,51 МэВ, т.е. равна энергии покоя электрона. В этом случае необходимо применить релятивистскую формулу (5). Учитывая, что Т₂ = 0,51 МэВ = m₀ с² , по формуле (5) находим:

λ ₂ = ,

или

λ ₂ = Λ/ .

Подставим значение Λ и произведем вычисления:

λ ₂ = 2,43 / пм = 1,40 пм.

Пример 3.

Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину порядка Т = 10 эВ. Используя соотношение неопределенностей, оценить минимальные линейные размеры атома.