Условная вероятность. Теорема умножения. Независимость событий

Определение. Условной вероятностью события А по отношению к событию В называется вероятность события А при условии, что событие В произошло. Обозначается P(A/B).

Определение. События А и В независимы, если P(A/B)=P(A).

Теорема 3. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий, т.е. P(AB)=P(A)·P(B).

Теорема 4. Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго: P(AB)=P(A)·P(B/A) =P(В)·P(A/B).

Примеры:

1. Два стрелка независимо друг от друга делают по одному выстрелу в цель. Известно, что вероятность попадания р₁ первого стрелка равна 0,9, а вероятность попадания р₂ второго – 0,8. Найти вероятность того, оба стрелка попадут в цель.

Решение.

Рассмотрим событие: А=«попадание первого стрелка в цель», В=«попадание второго стрелка в цель». Тогда событие АВ=«оба стрелка попали в цель». Так как события А и В независимы по условию, то

Р(АВ)=Р(А)Р(В)=р₁р₂ = 0,72.

Ответ: 0,72.

2. В урне имеется 3 красных и 7 белых шаров. Вынимают сначала один шар и, не возвращая его в урну, второй. Какова вероятность того, что оба шара белые?

Решение.

Пусть событие А=«первый шар белый», В=«второй шар белый». Тогда событие АВ=«оба шара белые».

Р(АВ)=Р(А) Р(В/А).

. Условная вероятность P(В/А) того, что второй шар белый, вычисляется при условии, что уже вынут один белый шар, следовательно, . Итак, .

Ответ. .