Формула Бернулли

Пусть эксперимент состоит в проведении некоторого опыта, о котором можно предположить, что или добились успеха или нет. Т.е. эксперимент с двумя исходами: А и , которые называются «успехом» и «неуспехом» соответственно.

Пусть , .

Проведем п идентичных испытаний (независимых друг от друга). Построенная схема испытаний называется схемой Бернулли.

Ставится вопрос: Какова вероятность того, что раз добьемся успеха? Обозначим искомую вероятность .

Пример:

Найдем вероятность «успеха» в 3-х испытаниях.

Проведем n независимых испытаний.

,

где .

Определение. Схемой Бернулли называется последовательность независимых (идентичных) испытаний с двумя исходами, имеющими неизменные вероятности (в каждом из испытаний).

Вероятность в схеме Бернулли вычисляется по формуле

. (3)

Формула (3) называется формулой Бернулли.

Отметим, что вероятность равна коэффициенту при в разложении бинома по степеням х. В силу этого свойства совокупность вероятностей называется биномиальным законом распределения вероятностей.

Пример:

В помещении 6 электролампочек. Вероятность того, что каждая лампочка останется исправной в течение года, равна 0,7. Найти вероятность того, что в течение года придется заменить 2 лампочки.

Решение:

А = «лампочка неисправна»

n = 6, m = 2, р =1 – 0,7 = 0,3; q = 0,7; p + q = 1,

.

Ответ. 0,3241.

Если требуется найти вероятность того, что число появления события А окажется в пределах от т₁ до т₂ (интервальная вероятность), обозначается или , то тогда в силу несовместимости событий

.

«Не менее m раз» .

«Хотя бы 1 раз» .

Т.к. все возможные несовместимые между собой исходы испытаний состоят в появлении события А 0 раз, 1 раз, …, n раз, то

.