Сущность и строение доказательства. Опровержение

В предыдущих главах мы рассмотрели различные формы умозаключений. В них фиксировались исходные данные в виде посылок и ставились вопросы о том, что именно следует из этих посылок с необходимостью — в дедукции или с некоторым правдоподобием — в индуктивных умозаключениях. Однако в практике повседневного мышления человек часто сталкивается с противоположной задачей. Ему даны некоторые суждения и требуется определить, из каких именно посылок это суждение вытекает. Если мы решим эту задачу, т. е. получим интересующую нас мысль в качестве логического следствия других мыслей, истинность которых у нас по вызывает сомнений, то в таком случае будем иметь доказательство интересующей нас мысли.

Ту мысль, которую мы хотим доказать, называют тезисом доказательства. Посылки, с помощью которых доказывается тезис, называют аргументами. И. наконец, то умозаключение, которое связывает аргументы с тезисом, носит название рассуждения или демонстрации.

Каждый из нас изучал геометрию и знает, что в геометрии огромную роль играет доказательство. Ни одно из утверждений геометрии не принимается на веру, оно доказывается. Но не только в геометрии имеют место доказательства. Мы к ним прибегаем постоянно в ходе нашей повседневной деятельности. В суде доказывается виновность или, наоборот, невиновность подсудимого. Мы доказываем свои права чиновнику, чиновник доказывает нам, что мы не имеем право ими пользоваться.

В основе всякого доказательства лежит закон логики, существенно отличный от чех трех законов мышления, с которыми мы уже встречались: закона тождества, закона противоречия, закона исключенного третьего. Отличие заключается в том, что этот закон не имеет формального выражения. Он заключается в требовании, чтобы всякая мысль была обоснованна, т. е. приведены достаточные основания считать эту мысль истинной. Этот закон был сформулирован известным немецким философом Г. В. Лейбницем (1646 — 1716). Доказывать мы можем не только истинность, но и ложность некоторого утверждения. В таком случае доказательство носит название опровержения. Так, адвокат может опровергнуть версию прокурора о виновности подсудимого.

Опровергать что-либо, как правило, гораздо легче, чем доказывать. Вспомним логический квадрат. Для опровержения общих суждений А или Е достаточно доказать истинность противоречащих им частных суждений, соответственно, I или О. Истинность частного суждения можно доказать одним единственным примером. Это обстоятельство может быть использовано для облегчения процесса доказательства общего суждения. В таких случаях выдвигают положение, противоречащее тому тезису, который предстоит доказать. Это положение называют антитезисом. Антитезис опровергается и таким образом на основании закона исключенного третьего доказывается истинность того положения, который требовалось доказать.

Подобный тип доказательства через опровержение антитезиса носит название косвенного или апагогического доказательства. То же доказательство, в котором антитезис не выдвигается, носит название прямого доказательства. Здесь тезис непосредственно доказывается аргументами.

Тезис, аргументы и рассуждение в доказательстве не всегда так четко выделяются, как мы привыкли это видеть на уроках геометрии. Далеко не всегда понятно даже то, есть ли в данном тексте или речи доказательство или нет его. А, если есть доказательство, то зачастую не выделены его элементы. Поэтому очень важной задачей является нахождение доказательств. И в доказательствах – определение его структуры. Этот процесс получил название анализа доказательства. Приведем пример такого анализа. Помните, мы доказывали особые правила фигур силлогизма? Правила первой, второй и четвертой фигуры были доказаны в тексте. А правило третьей фигуры должны были доказать наши читатели. Надеемся, что они справились с этим. И теперь мы проанализируем то, что они сделали. Для этого, прежде всего, вспомним, что в третьей фигуре средний термин является субъектом и в большей и в меньшей посылках. То, что здесь мы имеем дело с доказательством, в данном случае очевидно. Именно так была поставлена задача. Очевиден и тезис. Он был сформулирован: меньшая посылка в третьей фигуре должна быть утвердительной, вывод в третьей фигуре должен быть частным.

Выдвигается антитезис: допустим, что меньшая посылка — отрицательная. Из этого антитезиса мы получаем следствие: тогда и вывод должен быть отрицательным. Какое умозаключение мы при этом использовали? Это условно-категорический силлогизм, большей посылкой которого является общее правило силлогизма, а меньшей посылкой является наш антитезис: если одна из посылок отрицательная, то вывод — отрицателен.

Одна из посылок (меньшая) — отрицательная, значит, вывод должен быть отрицательным.

Далее. Используем понятие распределенности. Строится категорический силлогизм: “В отрицательных суждениях предикат распределен. Данное суждение — отрицательное, значит, в данном суждении предикат должен быть распределен”. Как видим, здесь используется категорический силлогизм первой фигуры. Затем вновь применяется условно-категорический силлогизм: “Если в заключении предикат (больший термин) распределен, то он должен быть распределен и в посылках”. (Это общее правило силлогизма).

Предикат заключения распределен. Отсюда следует, что предикат заключения (т. с. больший термин) должен быть распределен в большей посылке.

Вывод делается от утверждения основания к утверждению следствия.

Полученный вывод делаем посылкой следующего силлогизма:

Больший термин должен быть распределен в большей посылке.

Предикат большей посылки является большим термином (это видно из схемы (III фигуры).

Значит, предикат большей посылки должен быть распределен в большей посылке.

Отсюда следует, ч то большая посылка должна быть отрицательной на основании следующего силлогизма: суждение, в котором предикат распределен, является отрицательным. Большая посылка является суждением, в котором предикат распределен. Значит, большая посылка является отрицательным суждением.

Таким образом, антитезис “меньшая посылка отрицательна” приводит к выводу, что и большая посылка должна быть отрицательной. А из двух отрицательных посылок, согласно общему правилу силлогизма, никакого вывода не следует. Отсюда антитезис привел к выводу о несостоятельности силлогизма. Значит, антитезис ложен.

В соответствии с законом исключенного третьего, тезис и антитезис не могут быть вместе ложными. Таким образом, приходим к истинности тезиса: меньшая посылка в третьей фигуре должна быть утвердительной.

Второе правило доказывается на основе уже доказанного первого правила.

Меньшая посылка утвердительна

В утвердительном суждении предикат не распределен

В меньшей посылке предикат не распределен

Но предикат меньшей посылки в соответствии со структурой фигуры — это меньший термин. Значит, меньший термин не распределен в посылке. Отсюда, в соответствии с общим правилом силлогизма, он не должен быть распределен в заключении. А в заключении меньший термин — субъект. Он может не быть распределенным, если заключение частное. Таким образом, мы доказали и второе правило фигуры.

В процессе доказательства, т. е. в рассуждении, мы использовали категорические и условно-категорические силлогизмы, а также их энтимемы. Даже в таких простых доказательствах избежать энтимем затруднительно, и это не соответствовало бы реальностям нашего мышления. Часть наших мыслей мы всегда держим в уме, не выражая их явно. В процессе доказательства мы использовали следующие аргументы:

1. Структурные правила фигуры, определяющие взаимоотношение ее терминов.

2. Общие правила силлогизма: “если крайний термин не распределен в посылках, он не должен быть распределен в заключении”, “из двух отрицательных посылок не следует никакого вывода”.

3. Правила распределенности терминов в суждении: субъект распределен в общих, а предикат — в отрицательных суждениях.

К этому списку следует добавить также закон исключенного третьего, которым мы воспользовались, чтобы перейти к истинности доказываемого тезиса.

Как мы уже отметили, опровергать, как правило, гораздо легче, чем доказывать. Достаточно одного факта, чтобы опровергнуть общее утверждение.

Пусть некто утверждает, что все металлы тонут в воде. Для того, чтобы опровергнуть это утверждение, достаточно найти хотя бы один металл, который в воде не тонет. Находим литий. Бросаем его в воду, и он не тонет. Общее утверждение “Все металлы тонут в воде”, таким образом, опровергнуто.

Так же просто было опровергнуто суждение, в истинности которого европейцы были уверены на протяжении тысячелетий: “Все лебеди белые”. Стоило только открыть Австралию! Там увидели черных лебедей.

Считается, что опровержение фактами — лучший способ опровержения. Это не всегда так. С опровержением фактами связаны свои трудности. Прежде всего, факт далеко не всегда легко добыть. Австралия далеко. Но главное в том, что в единичный факт, который вы наблюдали, а больше никто не наблюдал, просто не поверят! В естественных науках распространено требование — считать фактом только то, что повторяется, мало того — только то, что можно воспроизвести. Некоторое время тому назад ученые в одном из московских научных институтов заявили, что ими опровергнут закон сохранения энергии. Так этим ученым не только не дали премии — их просто высмеяли, поскольку этот факт они не смогли повторить. Роза Кулешова — автор учебника сам это видел — могла читать пальцами письмо в запечатанном конверте. Но от нее требовали все новых повторений проявления своих способностей перед лицом строгих комиссий. Ну, а вы – сможете проявить все свои способности перед лицом комиссий? Не зря студенты, как правило, предпочитают сдавать экзамен одному человеку, а не комиссии.

Поэтому не случайно особо ценятся те опровержения, в которых опровергающий факт находится в рассуждениях самого оппонента. Прекрасный пример такого рода опровержения приводит Н. В. Гоголь в “Мертвых душах”. Чичиков доказывает Собакевичу, что мертвые души не могут дорого стоить, поскольку никому не нужны. “Ведь предмет – просто фу-фу! Что же он стоит? Кому он нужен?” Собакевич же опровергает утверждение Чичикова одним примером: “Да, вот, Вы же покупаете, стало быть, нужен!” И понятно, отчего Чичиков закусил губу и не нашел, что ответить. И никто бы не нашелся, так как аргумент Собакевича предельно убедителен.

Чичиков противоречил своему утверждению своим поведением. Но утверждение о том, что мертвые души ничего не стоят, само по себе не является противоречивым. Оно даже было истинным до того, как Чичиков сообразил, как эти души можно использовать.

Другой способ опровержения — обнаружение внутренней противоречивости опровергаемого утверждения.

Очень интересный пример такого типа опровержения мы находим в работах Галилея. Физики его времени утверждали, что скорость свободного падения тяжелых тел пропорциональна их весу. Существует мнение, что Галилей опровергал это утверждение фактами — залезал на Пизанскую башню и бросал оттуда шары. Но так он мог бы проломить голову какому-нибудь зеваке. И главное — Пизанская башня не в безвоздушном пространстве. А в воздухе тяжелое тело на самом деле упадет быстрее — сделайте сами опыты, бросив из окна листок бумаги и монету. Интересно, что сам Галилей в своих произведениях ничего не пишет о своих знаменитых опытах. Так что, скорее всего, это — легенда.

Он опровергает физиков чисто логически показывая, что их закон внутренне противоречив. Пусть большой камень, — рассуждал он, — падает с некоторой скоростью, скажем, 8 единиц. Эта скорость вполне определена его весом и высотой падения. Пусть малый камень падает со скоростью 4 единицы. Бели сложить эти камни, то скорость, с одной стороны, должна быть меньше 8 единиц (ее уменьшает малый камень), с другой стороны, поскольку камень весит больше, она должна быть больше 8 единиц. Получается противоречие, которое можно устранить допущением, что тела падают в пустоте с одинаковым ускорением (П. С. Кудрявцев. История физики, том I. M., Учпедгиз, 1948, с. 132).

По-видимому, именно такого типа опровержение следует считать наилучшим.

В приведенных примерах некоторое утверждение опровергалось непосредственно. В других случаях опровергается не непосредственно некоторый тезис, а доказательство этого тезиса. Выше рассматривалось так называемое онтологическое доказательство бытия Бога, согласно которому существование Бога следует из самого понятия Бога. Но опровержение доказательства тезиса не опровергает сам тезис. Вспомним, что ложность основания не означает ложности тезиса. Опровергая то или иное доказательство бытия Бога, мы тем самым еще не доказываем, что Бога нет.