Критерий Гурвица

Устойчивость системы по Гурвицу выясняется с помощью характеристического уравнения. Составляется специальный определитель – определитель Гурвица. Правило следующее.

Намечают n строк и n столбцов (n – степень характеристического уравнения). В первый строке ставят все нечетные коэффициенты: a₁, a₃, a₅. По главной диагонали, начиная с коэффициента a₁, слева-вниз-направо располагают последовательно все остальные коэффициенты. Столбцы, начиная с главной диагонали, заполняются вверх по нарастающим индексам, вниз - по убывающим. Все коэффициенты с индексами ниже нуля и выше степени уравнения, заменяют нулями.

Определители Гурвица 5-го, 4-го, 3-го и 2-го порядков выглядят следующим образом.

n = 5 n = 4 n = 3 n = 2

Для устойчивости системы необходимо, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения и все определители были положительными.

Получим условия устойчивости для конкретных уравнений.

1. Характеристическое уравнение 2-й степени:

a₀p²+a₁p+a₂ = 0 .

Ему соответствует определитель Гурвица 2-го порядка:

= a₁a₂- a₀· 0 = a₁a₂. D₂ = a₁a₂ .

Условие устойчивости: a₀, a₁, a₂> 0; D₂ > 0, т.е. a₁a₂ > 0.

2. Характеристическое уравнение 3-й степени:

a₀p³ + a₁p² + a₂p + a₃ = 0.

Ему соответствует определитель Гурвица 3-го порядка:

= a₁(a₂a₃ - a₁0) - a₃(a₀a₃ - 0·0)+0(a₀a₁ - a₂·0).

Δ₃ = a₁a₂a₃ - a₀a²₃.

Условие устойчивости: a₀, a₁, a₂, a₃ > 0; Δ₃ > 0, или, сокращая на a₃, a₁a₂ – a₀a₃ > 0.

3. Характеристическое уравнение 4-й степени:

a₀p⁴ + a₁p³ + a₂p² + a₃p + a₄ = 0 .

Ему соответствует определитель Гурвица 4-го порядка:

= а₁ - а₃ + 0 – 0 .

Δ₄ = a₁a₂a₃a₄ – a²₁a²₄ – a₀a²₃a₄ .

Условие устойчивости: a₀, a₁, a₂, a₃, a₄ > 0, Δ₄ > 0, или сокращая на a₄, a₁a₂a₃ - a²₁a₄ - a₀a²₃ > 0 .

4. Характеристическое уравнение 5-й степени:

a₀p⁵ + a₁p⁴ + a₂p³ + a₃p² + a₄p + a₅ = 0 .

Опуская процедуру вычисления определителя, выпишем сразу условие устойчивости:

a₀, a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ > 0,

(a₁a₂ – a₀a₃)(a₃a₄ – a₂a₅) – (a₁a₄ – a₀a₅)² > 0 .

Можно составлять определители Гурвица и для характеристических уравнений более высокой степени, получая соответствующие условия устойчивости. Однако, объем вычислений нарастает с увеличением степени характеристического уравнения, поэтому считается приемлемым пользоваться критерием Гурвица для характеристических уравнений степени не выше пятой.

Определитель Гурвица позволяет найти коэффициент усиления на границе устойчивости. Коэффициент усиления – это свободный член характеристического уравнения, его индекс равен степени уравнения. Границей устойчивости будет условие Δ = 0. Откуда и вычисляется коэффициент усиления.