![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Критерий НайквистаУстойчивость замкнутой системы определяется по годографу комплексной частотной характеристики разомкнутой системы. Обратимся к передаточной функции разомкнутой системы,
Характеристический полином есть D(p) . Устойчивость разомкнутой системы определяется по характеристическому полиному D(p) . Иными словами он содержит в себе информацию об устойчивости разомкнутой системы. Если система замкнутая, ее передаточная функция
Характеристический полином есть D(p) + B(p) . Устойчивость замкнутой системы определяется по характеристическому полиному D(p) + B(p) . То есть, в нем содержится информация об устойчивости замкнутой системы. Отношение передаточных функций (2.6) и (5.4) есть отношение характеристического полинома замкнутой системы к характеристическому полиному разомкнутой системы:
Значит, содержит в себе информацию об устойчивости как замкнутой, так и разомкнутой системы. Устойчивость замкнутой системы связана с устойчивостью разомкнутой. Поскольку открываются возможности судить об устойчивости замкнутой системы по передаточной функции разомкнутой системы. Запишем выражение (5.10) в частотной форме, полагая p = jw : 1 + W(jw) . W(jw) есть комплексная частотная характеристика разомкнутой системы. Эту характеристику можно изобразить графически на комплексной плоскости, задавая w от 0 до ∞ и рассчитывая частотные характеристики: действительную U(w) и мнимую V(w) . Получается годограф разомкнутой системы. Его вид говорит об устойчивости или неустойчивости замкнутой системы. Допустим, разомкнутая система устойчива. Тогда, если годограф устойчивой разомкнутой системы при изменении w от 0 до ∞ не охватывает точку -1 на оси абсцисс, то замкнутая система будет устойчивой. Охватывает – замкнутая система неустойчивая. Примеры годографов, соответствующих устойчивой и неустойчивой замкнутой системам, представлены на рис. 5.14 и 5.15 .
![]() ![]()
![]() ![]()
Рис. 5.14 Рис. 5.15
Рис. 5.16 Рис. 5.17
Рис. 5.18 Рис. 5.19
Замкнутая система может быть устойчивой и тогда, когда разомкнутая система неустойчива. Критерий Найквиста для неустойчивой разомкнутой системы: если годограф неустойчивой разомкнутой системы при изменении w от 0 до ∞ охватывает точку -1 на оси абсцисс в положительном направлении m / 2 раз, где m – число корней характеристического уравнения разомкнутой системы с положительной действительной частью, то замкнутая система будет устойчивой. (положительной считается движение конца вектора против часовой стрелки). Примеры годографов, соответствующих устойчивой и неустойчивой замкнутым системам во втором случае, представлены на рис. 5.16 и 5.17 для m = 2 . Если разомкнутая система имеет передаточную функцию, содержащую в знаменателе множителем комплексную переменную р , то комплексная частотная характеристика будет иметь неопределенность при w = 0 . Амплитуда становиться бесконечной. Годограф получается с бесконечной ветвью. Но если годограф мысленно дополнить зеркально отраженной ветвью и провести полуокружность бесконечно большого радиуса так, чтобы она пересекала положительную часть оси абсцисс, то такой прием позволяет использовать первую формулировку критерия Найквиста. То есть, если точка -1 на оси абсцисс лежит за пределами замкнутой кривой – замкнутая система устойчивая. Если охватывается кривой – неустойчивая. Примеры таких годографов приведены на рис. 5.18 и 5.19 . Подведем итог сказанному в виде таблицы 1, с использованием соответствующих аббревиатур. Таблица 1
РСУ . Тогда ЗСУ, если -1 вне. ЗСН, если -1 внутри.
РСН . Тогда ЗСУ, если -1 вне. ЗСН, если -1 внутри.
РС астатическая. Тогда ЗСУ, если -1 вне. ЗСН, если -1 внутри. Замкнутая система будет находиться на границе устойчивости, если годограф разомкнутой системы проходит через точку -1 оси абсцисс. Аналитически это условие можно записать в виде 1 + W(jw) = 0 . Кривые Найквиста наглядно показывают влияние коэффициента усиления на устойчивость системы. Для передаточной функции, в которой коэффициент усиления увеличивают, размеры и положение кривой Найквиста меняются относительно точки с координатой (-1,0). Допустим, имеется кривая 1, отвечающая границе устойчивости, рис.5.20. Предельный коэффициент усиления k = k*. Кривая 2, для которой k < k*, отвечает устойчивой системе, кривая 3, для которой k > k* - неустойчивой. Увеличение коэффициента усиления вызывает смещение влево точки пересечения кривой 2 с отрицательной частью действительной оси. То есть, может перевести систему из устойчивого состояния в неустойчивое.
Рис. 5.20. Значение коэффициентов усиления: 1 - k = k*, 2 - k< k*, 3 – k > k*.
Система, имеющая годограф, изображенный на рис. 5.20, с увеличением коэффициента усиления способна реализовать два состояния: «устойчивость – неустойчивость». Для более сложных кривых число состояний может увеличиваться. Например, у кривой с одним максимумом в отрицательной полуплоскости (рис. 5.21) по мере
Рис. 5.21 Рис. 5.22
увеличения коэффициента усиления устойчивое состояние сменяется неустойчивым, а затем снова устойчивым. У кривой с двумя максимумами (рис.5.22), при увеличении коэффициента усиления, реализуются состояния: «устойчивость – неустойчивость – устойчивость – неустойчивость». Система может устойчиво работать в двух разных интервалах изменения коэффициента усиления. Это свойство не обнаруживается применением критерия Гурвица или Михайлова. Коэффициент усиления на границе устойчивости рассчитывают, приравнивая комплексную частотную характеристику минус единице: W(jw) = -1.
40. Выделение области устойчивости методом D – разбиения Устойчивость системы автоматического регулирования зависит от того, какими будут коэффициенты дифференциального уравнения, которое её описывает. Одна часть коэффициентов обеспечивает устойчивые решения дифференциального уравнения, другая часть – дополняющая первую - обеспечивает неустойчивые решения. Идея метода D - разбиения заключается в том, чтобы найти границу между этими коэффициентами и тем самым указать область устойчивости. Для этого выделяют один или два важных коэффициента, изменяют их и исследуют, как меняются корни характеристического уравнения. Все остальные коэффициенты фиксируются. Пусть дано характеристическое уравнение системы автоматического регулирования: Пусть все коэффициенты заданы, кроме a0 и an. Предположим, что уравнение (2.7.) имеет в плоскости корней kкорней слева от мнимой оси и n - kкорней справа для каких–то значений a0 и an , рис. 5.21.
k n-k
Рис. 5.21 Рис 5.22
Будем менять значения коэффициентов a0 и an и находить корни. Возможно, для некоторой совокупности значений a0 и an количество корней слева и справа от мнимой оси не меняется. Т. е. соотношение между k и n-k остается постоянным. Тогда как совокупность других значений коэффициентов a0 и an меняет соотношение между kи n–k. Можно указать границу, отделяющую область постоянного отношения kи n-k. Эту область обозначают D(k, n - k), рис. 5.22.
в плоскости коэффициентов могут быть следующие области: D(0,4), D(1,3), D(2,2), D(3,1), D(4,0). Всего n + 1 областей. Из всех D(k, n - k) областью устойчивости будет только одна: D(n, 0). В ней все корни, располагающиеся слева от мнимой оси, имеют отрицательную действительную часть. Мнимая ось – граница устойчивости в плоскости корней. В плоскости коэффициентов кривая, отделяющая область устойчивости от области неустойчивости, будет ничем иным, как преобразованной мнимой осью.
41. D – разбиение по одному параметру Изучение метода D - разбиения начнем с выяснения влияния на устойчивость одного параметра. При заданных значениях других параметров. Обозначим параметр символом Можно назвать параметром T1, T2, T3, k. Допустим, сделан выбор l = T2. Тогда уравнение примет вид l(T12p3 + T3p2) + T1(k+1)p+k = 0 . Полином, который умножается на l , обозначим Q(p), остальную часть S(p). Уравнение примет общий вид:l Q(p) + S(p)=0 . (5.4) Представив уравнение (5.4) в виде получаем Чтобы построить границы области устойчивости, полагаем p = jw. Тогда l(p) становится комплексным числом: l(jω) = - Если теперь задавать ω от 0 до +¥, вектор l(jω) вычертит некоторую кривую на комплексной плоскости U, V. Эта кривая отображает на плоскость U, V мнимую ось комплексной плоскости корней, то есть будет границей, по одну сторону которой k корней, по другую n - k. Если задавать ω от 0 до -¥, получится зеркальное отображение кривой для +ω. Поэтому кривую рассчитывают для положительных ω, а затем дополняют зеркальным отображением относительно действительной оси. Чтобы разобраться, по какую сторону находятся kкорней, область D - разбиения выделяется штриховкой. Соображения следующие. При движении по мнимой оси в плоскости корней (рис. 5.23) от
![]()
Корни устойчивости
w ® -¥
Рис. 5.23. Рис. 5.24
Требуется, чтобы и в плоскости Рассмотрим в качестве примера кривую, изображенную на рисунке 5.24. На этой кривой показано, как надо наносить штриховку. Область устойчивости ограничена кривой со штриховкой внутрь. Параметр от точки 1 до точки 2. (рис. 5.24) .
|