Средние величины

Наиболее распространенной формой статистических показателей, используемой в социально-экономических исследованиях, является средняя величина – обобщающая количественная характеристика признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени. Показатель в форме средней величины выражает типичные черты и дает обобщающую характеристику однотипных явлений по одному из варьирующих признаков. Он отражает уровень этого признака, отнесенный к единице совокупности. В средних величинах погашаются индивидуальные различия единиц совокупности, обусловленные случайными обстоятельствами. Следует помнить, что средняя будет правильно отражать типичные размеры признака совокупности, если имеются данные о значении этого признака у массы единиц совокупности. Способность средней отражать характерные, типичные размеры изучаемого признака массы единиц объективно существующей совокупности и раскрывать их общие закономерности при условии взаимопогашения случайных колебаний величины признака отдельных единиц совокупности называется законом средних чисел. Следует иметь в виду, что средняя величина только тогда будет отражать типичный уровень признака, когда она рассчитана по качественно однородной совокупности. Если совокупность неоднородна, общие средние должны быть заменены или дополнены групповыми средними, рассчитанными по качественно однородным группам.

Однако роль средних величин не сводится только к характеристике типичных значений признаков в однородных совокупностях. На практике значительно чаще современная статистика использует средние величины, обобщающие явно неоднородные явления (например, среднее потребление мяса на 1 жителя, средняя урожайность зерновых культур по территории страны). Такие средние называются системными. Системные средние величины – это характеристики государства как единой экономической системы.

Особое внимание следует обратить на виды средних величин, особенности их исчисления и области применения. Средние величины делятся на два больших класса: степенные средние и структурные средние.

Степенные средние в зависимости от представления исходных данных могут быть простыми и взвешенными. Простая средняя рассчитается по несгруппированным данным и имеет следующий общий вид:

; (3.1)

где х_i – вариант (значение) осредняемого признака;

к – показатель степени средней;

n – число вариантов.

Взвешенная средняя рассчитается по сгруппированным данным и имеет общий вид:

, (3.2)

где fi – частота, статистические веса, показывающая, сколько раз встречается i-ое значение осредняемого признака.

В качестве примера приведем расчет среднего балла экзаменационной оценки в группе студентов из 25 человек по дисциплине "Статистика".

Т а б л и ц а 3.1 - Исходные данные

Средний балл рассчитаем по формуле простой средней:

.

Сгруппируем исходные данные. Получим следующий ряд распределения (таблица 3.2):

Т а б л и ц а 3.2 - Исходные данные

Рассчитаем средний балл по формуле средней взвешенной:

.

Следует обратить внимание на то, что абсолютные данные о повторяемости признака можно заменить относительными величинами структуры, т.е. рассчитать долю каждой частоты в общей сумме всех частот:

. (3.3)

Эта величина может быть выражена в процентах и коэффициентах (в долях единицы).

Тогда средняя взвешенная величина рассчитывается по формуле:

. (3.4)

Рассчитаем средний балл, используя в качестве весов относительные показатели структуры, выраженные в процентах (mi) и в долях единицы (wi) (таблица 3.3):

Т а б л и ц а 3.3 - Расчет среднего балла успеваемости

.

Общие формулы расчета степенных средних имеют показатель степени (К). В зависимости от того, какое значение он принимает, различают несколько видов степенных средних. В таблице 3.1 представлены виды степенных средних, которые наиболее часто используются в экономико-статистических исследованиях.

Необходимо обратить внимание на то, что если рассчитать все виды средних для одних и тех же исходных данных, то их значения окажутся неодинаковыми. С увеличением показателя степени К увеличивается и соответствующая средняя величина, т.е.

(3.5)

Это правило мажорантности средних.

Т а б л и ц а 3.4 – Виды степенных средних величин

Вид степенной средней	Показатель степени	Формула расчета
простая	взвешенная
Гармоническая	-1
Геометрическая
Арифметическая
Квадратическая
Кубическая

В статистической практике чаще, чем остальные виды средних взвешенных, используются средние арифметические и средние гармонические взвешенные. В связи с этим необходимо изучить свойства средней арифметической, обратить внимание на различные способы ее расчета, а также уметь правильно выбрать среднюю арифметическую или среднюю гармоническую в конкретной ситуации. Приведем примеры расчета этих средних.

Пример 3.1 – Расчет средней арифметической в дискретном ряду распределения.

Определите средний уровень квалификации рабочих предприятия, используя следующие данные:

Т а б л и ц а 3.5 - Расчет среднего тарифного разряда

.

Пример 3.2 – Расчет средней арифметической в интервальном ряду распределения.

Определите средний возраст работников предприятия по следующим данным:

Т а б л и ц а 3.6 - Расчет среднего возраста работников

Для определения среднего возраста работников, прежде всего, преобразуем интервальный вариационный ряд в дискретный, т.е. найдем середины возрастных интервалов. При этом величина открытых интервалов (первого и последнего) условно приравниваются к величинам интервалов (i), примыкающих к ним (второго и предпоследнего): т.е. для первого принимаем i=5, тогда середина первого интервала равна ; для последнего принимаем i=10, середина последнего интервала равна .

Используя среднюю арифметическую взвешенную, определим средний возраст работников предприятия:

.

Пример 3.3 – Расчет средней арифметической по способу моментов.

Применяя способ моментов, определите средний размер валютного вклада в сбербанке района по следующим данным:

Т а б л и ц а 3.7 - Расчет среднего размера вклада

Исходные данные	Вспомогательные расчеты
Размер вклада, долл, хi	Число вкладчиков в % к итогу, fi	Середина интервала, хi	xi-A= xi-1500
До 1000			-600	-3	-36
1000-1200			-400	-2	-32
1200-1400			-200	-1	-12
1400-1600
1600-1800
1800-2000
Свыше 2000
Итого					-40

Способ моментов основан на применении математических свойств средней арифметической взвешенной и позволяет значительно упростить технику вычисления. Расчет производителя по формуле:

, (3.6)

где i – величина интервала;

m₁ – условный момент первого порядка;

А – постоянная величина, в качестве которой принимается вариант с наибольшей частотой. По данным примера i=200, А=1500.

Момент первого порядка рассчитывается по формуле:

. (3.7)

Используя расчетные показатели таблицы, определяем средний размер валютного вклада в сбербанке района:

.

Пример 3.4 – Расчет средней гармонической взвешенной

Производственная деятельность одного из отделений корпорации за месяц характеризуется следующими данными:

Т а б л и ц а 3.7 - Исходные данные

Определите средние затраты на 1р. произведенной продукции в целом по отделению.

Среднюю гармоническую применяют для расчетов тогда, когда в качестве весов используются не единицы совокупности – носители признака, а произведения этих единиц на значение признака (т.е. М=хi×fi). Дополнительным критерием правильности выбора вида средней является экономический смысл показателя.

В нашем примере изучаемый признак - (хi) затраты на 1р. произведенной продукции – определяется отношением общих затрат на производство к объему произведенной продукции (fi). Данными об объеме произведенной продукции мы не располагаем, но имеются сведения об общих затратах на производство, которые определяются как произведение затрат на 1р. произведенной продукции на объем произведенной продукции (хifi). То есть это агрегированная величина, объем признака. Поэтому в данной ситуации следует использовать для расчета среднюю гармоническую взвешенную:

Следует обратить внимание на то, что средняя геометрическая находит основное применение при определении средних темпов роста. Кроме того, она дает наиболее правильный по содержанию результат осреднения, если задача состоит в нахождении такого значения признака, который качественно был бы равно удален как от максимального, так и от минимального значения признака.

К структурным средним величинам относятся мода и медиана.

Мода (Мо) - это наиболее часто встречающееся значение изучаемого признака. В первичном ряду распределения расчет моды не имеет смысла.

В дискретных рядах распределения модой является вариант с наибольшей частотой. В интервальных рядах распределения мода рассчитывается по формуле:

, (3.8)

где х_мо - начальное значение модального интервала,

i_мо - величина модального интервала;

f_мо - частота модального интервала;

f_мо-1 - частота интервала, предшествующего модальному;

f_мо+1- частота интервала, следующего за модальным.

Модальный интервал определяется по наибольшей частоте.

Медиана - величина признака, которая делит упорядоченную последовательность его значений на две равные по численности части. В итоге у одной половины единиц совокупности значение признака не превышает медианного уровня, а у другой - не менее его.

Пример 3.5 - Расчет медианы в первичном ряду распределения

Выработка рабочих бригады характеризуется следующими данными (таблица 3.8):

Т а б л и ц а 3.8 - Исходные данные

Для определения медианы необходимо проранжировать данный ряд распределения (таблица 3.9):

Т а б л и ц а 3.9 – Данные распределения

Определяем номер медианы:

.

Следовательно, Ме = 9 (шт).

Если ранжированный ряд распределения состоит из четного числа членов, то медианой будет средняя арифметическая из двух значений признака, расположенных в середине ряда.

Медиана интервального ряда распределения определяется по формуле:

; (3.9)

где х_ме - нижняя граница медианного интервала;

i_ме - величина медианного интервала;

S_ме-1 - сумма накопленных частот интервала, предшествующего медианному;

F_ме - частота медианного интервала.

Пример 3.6 - Расчет моды и медианы в дискретных рядах распределения.

Имеются следующие данные о распределении рабочих по тарифному разряду (таблица 3.10):

Т а б л и ц а 3.10 – Распределение рабочих по тарифному разряду

Наибольшее число рабочих (45 чел.) имеют тарифный разряд, равный 4, следовательно, мода равна 4 разр.

Для вычисления медианы надо определить сумму накопленных частот (графа 3 таблицы) Si (кумулятивную сумму).

Наращивание продолжается до получения накопленной суммы частот, впервые превышающей половину. В нашем примере сумма частот составила 100, ее половина - 50. Кумулятивная сумма равна 69. Ей соответствует значение признака, равное 4. Таким образом, 4 разряд является медианным, Ме=4 разр. Если кумулятивная сумма против одного из вариантов равна половине общей суммы частот, то медиана определяется как средняя арифметическая этого варианта и последующего.

Пример 3.7 - Расчет моды и медианы в интервальных рядах распределения.

С целью исследования качества деталей на предприятии проверена партия из 100 деталей. Результаты представлены в таблице 3.11:

Т а б л и ц а 3.11 - Исходные данные

Вначале определяем модальный интервал. Это интервал с наибольшей частотой, т.е. 70-80.

.

Т а б л и ц а 3.12 - Медианный интервал накопленных частот

Следовательно, медианным является интервал 80-90.

.

Следует иметь в виду, что аналогично с нахождением медианы в вариационных рядах можно найти значение признака у любой по порядку единицы ранжированного ряда. Например, можно найти значение признака у единиц, делящих ряд на четыре равные части (квартили), десять (дециле), сто (перцентили) частей:

Различают квартиль нижний (Q₁), отделяющий 1/4 часть совокупности с наименьшими значениями признака, и квартиль верхний (Q₄), отсекающий 1/4 часть с наибольшими значениями признака. Это означает, что 25% единиц совокупности будут меньше по величине Q₁, 25% единиц будут заключены между Q₁ и Q₂, 25% - между Q₂ и Q₃ и остальные 25% превосходят Q₃. Средним квартилем является медиана.

Для расчета квартилей по интервальному вариационному ряду используют формулы:

; (3.10)

; (3.11)

где X_Q1 - нижняя граница интервала, содержащего нижний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 25%;

X_Q3 - нижняя граница интервала, содержащего верхний квартиль (определяется интервал по накопленной частоте, первой превышающей 75%);

S_Q1-₁ накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему нижний квартиль;

S_Q3-1 - то же для верхнего квартиля;

f_Q1 - частота интервала, содержащего нижний квартиль;

f_Q3 - то же для верхнего квартиля.

Используя данные предыдущего примера рассчитаем нижний и верхний квартиль (таблица 3.13):

Т а б л и ц а 3.13 – Расчет нижнего и верхнего квартиля

Нижний квартиль находится в интервале 70-80, накопленная частота которого равна 42%. Верхний лежит в интервале 90-100 с накопленной частотой 81%. Поэтому получим:

;

Итак, 25% деталей имеют вес менее 72,9г., 25% деталей - свыше 97,1г., а остальные имеют вес в пределах 72,9 - 97,1г.

Тренировочные задания для самостоятельной работы