Метод простой итерации

Уравнение (2.1) записывают в виде разрешенном, относительно x:

. (1.2)

Заметим, что переход от записи уравнения (1.1) к эквивалентной записи (1.2) можно сделать многими способами, например, положив

, (1.3)

где - произвольная, непрерывная, знакопостоянная функция. Часто достаточно выбрать функцию как константу y=const из диапазона ±0.1 - 0.9 .

В этом случае корни уравнения (1.2) являются также корнями (1.1), и наоборот.

Исходя из записи (1.2) члены рекуррентной последовательности в методе простой итерации вычисляются по закону

. (1.4)

Метод является одношаговым, так как последовательность x₀, x₁, …, x_к имеет первый порядок (m=1) и для начала вычислений достаточно знать одно начальное приближение или или .

Условием сходимости метода простой итерации: если дифференцируема и выполнение неравенства для любого . (1.5)

Максимальный интервал (a, b), для которого выполняется неравенство (1.5), называется областью сходимости.

Рис. 1.1.

Схема алгоритма метода простой итерации представлена на рис. 1.1.

В данном алгоритме число проделанных итераций подсчитывает параметр к, а правая часть выражения 1..4 обозначено как «fi». Точность решения – eps. Число итераций лучше ограничить.