Интерполяционный многочлен Ньютона

Пусть − набор узлов интерполирования, − значения функции в узлах.

Величину называют конечной разностью первого порядка в к-ом узле.

Аналогично определяются конечные разности высших порядков.

.

Разделенной разностью первого порядка называется выражение

,

.

Разделенной разностью второго порядка называется выражение

и т. д.

Используя представление функции f(x) в текущей точке x через разделенные разности можно показать, что

. (2.9)

Очевидно, при

т. е. − интерполяционный многочлен. Его называют интерполяционным многочленом Ньютона.

Рассмотрим случай равноотстоящих узлов, т. е. x_i-x_i-1=h

Тогда после нескольких преобразований получим:

интерполяционный многочлен Ньютона-Грегори:

.

Пример:

Пусть требуется найти интерполяционный многочлен для функции , имеющей в узлах , , ,

значения , , , .

Шаг h=1,m=4.

Вычислим конечные разности:

xi
	3 2 4	-2 -1 2	3

N₃(x)=5+-2/(1!*1)(x-0)+1/(2!*1²)(x-0)(x-1)+2/(3!*1³)(x-0)(x-1)(x-2)

Аналитический вид полинома Ньютона-Грегори третьего порядка:

Варианты заданий

1. Во всех вариантах требуется аппроксимировать заданную исходную функцию f(x) многочленом Лагранжа на интервале [a, b], m - количество точек (узлов), в которых задана функция. Т.е. таблица исходной функции y_i=f(x_i) вычисляется в точках

2. Используя полученную таблицу требуется вычислить значения функций и погрешность в точках

(в узловых точках d(x_j=x_i )=0)

Таблица 2.1

N	Функция f(x)	а	b	m
		-2
		-8
		-2
		-5
		-1
		-3
		-4

2. Для всех вариантов проведите линейную интерполяцию между двумя соседними узлами для десяти дополнительных промежуточных точек.

3. Постройте графики и проанализируйте качество полученной аппроксимации.

Контрольные вопросы

1. Как ставится задача линейной аппроксимации функций?

2. Что такое интерполяция, ее геометрическая интерпретация?

3. Напишите интерполяционный многочлен Лагранжа 2-го порядка.

4. Как получить формулу линейной интерполяции?