Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника


Интерполяционный многочлен Ньютона




 

Пусть − набор узлов интерполирования, − значения функции в узлах.

Величину называют конечной разностью первого порядка в к-ом узле.

Аналогично определяются конечные разности высших порядков.

.

Разделенной разностью первого порядка называется выражение

,

.

Разделенной разностью второго порядка называется выражение

и т. д.

Используя представление функции f(x) в текущей точке x через разделенные разности можно показать, что

. (2.9)

Очевидно, при

т. е. − интерполяционный многочлен. Его называют интерполяционным многочленом Ньютона.

 

 

Рассмотрим случай равноотстоящих узлов, т. е. xi-xi-1=h

Тогда после нескольких преобразований получим:

интерполяционный многочлен Ньютона-Грегори:

.

Пример:

Пусть требуется найти интерполяционный многочлен для функции , имеющей в узлах , , ,

значения , , , .

Шаг h=1,m=4.

Вычислим конечные разности:

xi
  3 2 4 -2 -1 2 3

 

N3(x)=5+-2/(1!*1)(x-0)+1/(2!*12)(x-0)(x-1)+2/(3!*13)(x-0)(x-1)(x-2)

Аналитический вид полинома Ньютона-Грегори третьего порядка:

 

 

Варианты заданий

1. Во всех вариантах требуется аппроксимировать заданную исходную функцию f(x) многочленом Лагранжа на интервале [a, b], m - количество точек (узлов), в которых задана функция. Т.е. таблица исходной функции yi=f(xi) вычисляется в точках

2. Используя полученную таблицу требуется вычислить значения функций и погрешность в точках

(в узловых точках d(xj=xi )=0)

 

Таблица 2.1

N Функция f(x) а b m
-2
-8
-2
-5
-1
-3
-4

2. Для всех вариантов проведите линейную интерполяцию между двумя соседними узлами для десяти дополнительных промежуточных точек.

3. Постройте графики и проанализируйте качество полученной аппроксимации.

 

Контрольные вопросы

1. Как ставится задача линейной аппроксимации функций?

2. Что такое интерполяция, ее геометрическая интерпретация?

3. Напишите интерполяционный многочлен Лагранжа 2-го порядка.

4. Как получить формулу линейной интерполяции?



Поделиться:

Дата добавления: 2015-04-04; просмотров: 134; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2024 год. (0.005 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты