Дәрістің жоспары. 2. Механикалық жүйенің массалар центрі

1. Механикалық жүйе. Сыртқы және ішкі күштер

2. Механикалық жүйенің массалар центрі

3. Инерция моменттері. Штейнер теоремасы

Материалық нүктелердің механикалық жүйесі деп қозғалыстары өзара тәуелді болып келетін материалық нүктелер жиынтығын айтады.

Механикалық жүйедегі әрбір жеке нүкте қозғалысы ондағы барлық басқа нүктелердің қозғалыстары мен олардың орналасу жағдайына тәуелді анықталады. Егер қозғалыс кезінде жүйедегі нүктелердің бір-бірінен ара қашықтықтары өзгермей сақталатын болса, онда бұл жүйені өзгермейтін механикалық жүйе дейміз. Абсолют қатты дене өзгермейтін механикалық жүйе ретінде қарастырылады. Демек, механикалық жүйенің айрықша белгісі – оның нүктелерінің арасында өзара әсерлесу күшінің бар екендігі. Осыған қарағанда материалық нүктелердің кез келген жиынтығы механикалық жүйені құра алмайтындығы белгілі.

Механикалық жүйенің қозғалысын әрқашан қандай да бір санақ жүйелерге қатысты қарастырады (олар инерциялық және инерциялық емес те болуы мүмкін). N материалық нүктелерден құрылған механикалық жүйенің орны декарттық санақ жүйесінде 3N координаттармен анықталады. Нүкте үшін қисық сызықты координаттарды қолдануға болады, ал қатты дененің орнын полюс және Эйлер бұрыштары арқылы білуге болады.

Механикалық жүйе еркінжәне еркін емесжүйе түрінде кездеседі. Нүктелердің кеңістікте орын ауыстыру еркіндіктері шектелмеген материалық нүктелердің механикалық жүйесін еркін жүйе дейміз. Еркін механикалық жүйе кеңістіктің кез келген жерінде бола алады және кез -келген жылдамдықты қабылдай алады. Ал механикалық жүйенің еркін қозғалуын тежеп отыратындай алдын ала жүйеге қосымша шарттар қойылған болса, онда оны еркін емес механикалық жүйе деп атаймыз. Нүктелерінің орын ауыстыруларын тежеп, шектейтін жүйеге алдын-ала қойылған қосымша шарттар байланыстар делінеді.

Берілген механикалық жүйе нүктелеріне әсер ететін барлық күштерді сыртқы және ішкі күштерге бөлуге болады.

Механикалық жүйенің сыртқы күштері деп осы жүйе құрамына кірмейтін денелердің жүйе нүктелеріне жасайтын әсерлерінен туатын күштер аталады.

Берілген механикалық жүйе нүктелерінің арасында болатын өзара әсерлесу күштерін ішкі күштер деп атаймыз.

N нүктелерден құрылған механикалық жүйені қарастырайық.

Жүйенің m_k нүктесіндегі барлық сыртқы күштердің тең әсер етуші күшін , ал барлық ішкі күштердің тең әсер етуші күшін деп белгілейміз. Байланыстар реакцияларының кейбіреуі сыртқы күштерге, ал екіншілері ішкі күштерге жатуы мүмкін.

Теорема. Механикалық жүйе қандай жағдайда болса да, яғни қозғалыста немесе тыныштықта, оның ішкі күштердің бас векторы және олардың кез келген центрге қатысты бас моменті нөлге тең:

. .

Денелердің қозғалысы, негізінен массалардың дененің көлемінде қалай таралып, қалыптасуына байланысты болады. Массалардың денеге таралуын сипаттайтын шамалар жөніндегі механика тарауын массалар геометриясыдеп атайды. Өйткені бұл тарауда дене қозғалысы зерттелмейді, тек оның массасының таралуын сипаттаушы шамалардың геометриялық қасиеттері тағайындалады. Мұндай шамалар механикада инерция моменттерідеп аталады да олар жүйенің нүктелерінің массалары мен олардың координаттардың функцияларына көбейтінділері арқылы анықталады: , мұнда - моменттің дәрежесі. Инерция моменттері бірнеше түрге бөлінеді: нүктеге қатысты алынған (полярлық) инерция моменті, өске қатысты алынған инерция моменті, жазықтыққа қатысты алынған инерция моменті.

Механикалық жүйе үшін негізгі ұғымдардың бірі массалар центрі туралы ұғым. Механикалық жүйенің массалар центрі деп радиус-векторы

формуласымен анықталатын геометриялық С нүктені айтамыз, мұнда , .

Денелердің айналмалы қозғалыстарын қарастырған жағдайларда олардың массасының таралуын сипаттайтын инерция моменті ұғымын енгізеді.

О нүктеге қатысты материалық М нүктенің инерция моменті деп сол нүктенің массасы мен оның берілген О нүктеге дейін қашықтықтың квадратының көбейтіндісіне тең шаманы айтады:

Массалары нүктелерден құрылған механикалық жүйені қарастырайық. Осы механикалық жүйенің О нүктеге қатысты алынған инерция моменті жүйені құрайтын материалық нүктелердің инерция моменттерінің қосындысына тең:

.

Бұл моментті полярлық инерция моменті деп атайды.

Механикалық жүйенің қандай да бір өске қатысты инерция моменті деп жүйе нүктелерінің массалары мен олардың осы өстен қашықтық квадраттарының көбейтінділерінің қосындысына тең болатын шаманы айтады: . өске қатысты дененің инерция радиусы деп

шаманы айтады. Онда инерция моментін былай да көрсетуге болады: .

Әр түрлі денелер үшін -дің мәндерін анықтама кітаптардан алуға болады. Инерция моментінің өлшемі - кг∙ м².

Өзара параллель және өстерге қатысты механикалық жүйенің инерция моменттерінің тәуелділігі

.

Бұл теңдік Гюйгенс – Штейнер теоремасының математикалық өрнегі болып табылады. Ол былай оқылады: қандай да бір өске қатысты алынған механикалық жүйенің инерция моменті сол өске параллель және жүйенің массалар центрінен өтетін екінші өске қатысты алынған жүйенің инерция моментіне жүйенің массасын бұл екі параллель өстердің ара қашықтарының квадратына көбейтіп, қосқанға тең.

11дәрісҚозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теорема.

Массалар центрінің қозғалуы туралы теорема (2 сағат)

Массасы мен жылдамдығының көбейтіндісіне тең векторлық шаманы материалық нүктенің қозғалыс мөлшері деп атайды:

Механикалық жүйенің қозғалыс мөлшері деп нүктелердің қозғалыс мөлшерлерінің геометриялық қосындысына тең векторды айтады:

Мұнда механикалық жүйенің нүктелерінің қозғалыс мөлшерлерінің бас векторы, түсірілген нүктесі жоқ еркін вектор болады.

Қозғалыс мөлшерінің өлшемі (кг∙м/с).

Егер екенің ескерсек, онда болады. Егер механикалық жүйе қатты денелерден тұратын болса, оның қозғалыс мөлшерінің бас векторы мұнда - і дененің массасы мен массалар центрінің жылдамдығы. Денелердің қозғалыс мөлшерінің векторы олардың массалар центріне түсірілген.

dt уақыт аралығындағы күшінің элементар импульсі деп векторын айтамыз. Материалық нүкте түсірілген күшінің t уақыт мерзіміндегі толық импульсі деп векторын айтамыз. Күштің импульсінің өлшемі (Н∙с).

Аталған теорема дифферециялдық түрде былай оқылады: материалық нүктенің қозғалыс мөлшерінің векторының уақыт бойынша алынған туындысы нүктеге түсірілген активтік және реакция күштердің бас векторына тең болады:

Теореманың математикалық жазуын өрнектеп мына түрде қарастырайық:

Сонымен, нүктенің қозғалыс мөлшерінің дифференциалы нүктеге түсірілген күштердің тең әсер етуші күшінің элементарлық импульсіне тең.

Соңғы теңдеуден 0мен t аралығында интеграл алсақ:

Онда ,

мұнда нүктенің осы мезеттегі және бастапқы абсолют жылдамдықтары; тең әсер етуші күштің t уақыттағы толық импульсі. Күш импульсінің өлшемі (Н∙с).

Соңғы теңдеу нүктенің қозғалыс мөлшерінің 0 мен t уақыт аралығында өзгеруіі туралы теореманы көрсетеді: материалық нүктенің 0 мен t уақыт аралығындағы қозғалыс мөлшерінің өзгеруі нүктеге түсірілген күштердің тең әсер етуші күштің сол уақыт аралығындағы толық импульсіне тең.

Механикалық жүйенің массалар центрінің қозғалысы туралы теорема:

онда

Бұл теңдеу механикалық жүйенің қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теореманы көрсетеді: механикалық жүйенің қозғалыс мөлшерінен уақыт бойынша алынған бірінші ретті туындысы жүйеге түсірілген сыртқы күштердің бас векторына тең.

Сонымен, механикалық жүйенің қозғалыс мөлшерінің дифференциалы жүйенің материалық нүктелеріне түсірілген сыртқы күштердің элементарлық импульстерінің қосындысына тең:

Бұл теңдеуді уақыттың 0 мен t шектерінде интегралдап, интегралдау мен қосу операцияларының орындарын алмастырып табамыз

мұнда сәйкестеп алынған механикалық жүйенің кез келген мезеттегі және бастапқы қозғалыс мөлшерлері, k материалық нүктеге түсірілген сыртқы күштің толық импульсі.

Соңғы өрнек механикалық жүйенің қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теореманың интегралдық түрінің математикалық жазылуы: t уақыт аралығында механикалық жүйенің қозғалыс мөлшерінің өзгеруі жүйенің нүктелеріне түсірілген сыртқы күштердің сол уақыттағы толық импульстерінің қосындысына тең.

Механикалық жүйенің массалар центрі массасы жүйенің массасына тең және механикалық жүйеге түсірілген барлық сыртқы күштер түсірілген материалық нүкте ретінде (сияқты) қозғалады.