Дәрістің жоспары. 1. Материалық нүктенің және механикалық жұйенің қозғалыс мөлшерінің моменті

1. Материалық нүктенің және механикалық жұйенің қозғалыс мөлшерінің моменті

2. Қозғалыс мөлшері моментінің өзгеру туралы теорема

3. Айналмалы қозғалыстағы қатты дененің кинетикалық моменті

Материалық нүктенің және механикалық жүйенің қозғалысын сипаттайтын тағы бір векторлық өлшемі жиі қолданылады – центрге қатысты қозғалыс мөлшерінің моменті немесе кинетикалық моменті.

О центрге қатысты материалық нүктенің қозғалыс мөлшерінің моменті деп оның m массасымен центрге дейін радиус-вектордың векторлық көбейтіндісіне тең векторды атайды:

СИ жүйесіндегі бірлік өлшемі– кг ∙ м²/с .

Кез келген О центрге қатысты механикалық жұйенің қозғалыс мөлшерлер бас моменті немесе кинетикалық моменті деп жүйедегі барлық нүктелердің сол центрге қатысты қозғалыс мөлшерлер моменттерінің геометриялық қосындысына тең векторды атайды:

Қозғалмайтын өске қатысты бұрыштық жылдамдықпен қатты дененің кинетикалық моменті:

.

Дененің А_к нүктесінің траекториясының жанамасына жылдамдығының проекциясы

, ал өске қатысты оның қозғалыс мөлшерінің моменті

,

мұнда . Онда: , мұнда айналу өске қатысты дененің инерция моменті. Ақырында алатынымыз: . таңбасы бұрыштық жылдамдық проекциясының таңбасымен анықталады.

Материалық нүктенің қозғалыс мөлшері моментінің өзгеруі туралы теоремасын көрсетеді: О центрге қатысты нүктенің қозғалыс молшері моментінің уақыт бойынша алынған бірінші туындысы сол центрге қатысты тең әсер етуші күшінің моментіне тең:

. . Механикалық жүйенің қозғалыс мөлшерлер бас моментінің өзгеру туралы теоремасын көрсетеді: қозғалмайтын О центрге қатысты механикалық жүйенің қозғалыс мөлшерлер бас моментінің уақыт бойынша алынған бірінші туындысы сол центрге қатысты жүйедегі нүктелерге әсер ететін сыртқы күштердің бас моментіне тең:

.

Материалық нүкте және механикалық жүйе қозғалған кезде олардың қозғалыс мөлшерлер моменттердің және қозғалыс мөлшерлер бас моменттердің сақталу заңдарының жазылуы бірдей, яғни материалық нүкте бір нүктеден құрылған механикалық жүйе болады. Механикалық жүйенің қозғалыс мөлшерлер бас моментінің өзгеруі туралы теореманың дербес жағдайларын қарастырайық.

1. О нүктесіне қатысты жүйенің сыртқы күштердің бас моменті нөлге тең, яғни . Онда

.

Осы теңдікті интегралдап алған кезде, мынаны аламыз:

, яғни О центрге қатысты механикалық жүйенің қозғалыс мөлшерлер бас моментінің модулі және бағыты тұрақты. Бұл теңдік О центріне қатысты қозғалыс мөлшерлер бас моменттің сақталу заңын векторлық түрде береді: егер қозғалмайтын О центрге қатысты сыртқы күштердің бас векторы нөлге тең болса, онда сол центрге қатысты механикалық жүйенің қозғалыс молшерлер бас моментінің модулі және бағыты тұрақты болады.

2. Механикалық жүйеге әсер ететін сыртқы күштер моменттерінің қосындысы өсіне қатысты нөлге тең болсын, яғни . Онда

.

Сөйтіп, егер кез келген өске қатысты механикалық жүйеге әсер ететін сыртқы күштердің бас векторы нөлге тең болса, онда бұл өске қатысты механикалық жүйенің қозғалыс мөлшерлер бас моменті де тұрақты болады.

Егер қозғалмайтын өске қатысты бұрыштық жылдамдықпен және айналып тұрған дене немесе денелер жүйесі қарастырылса, онда болады. Егер бастапқы уақыттағы жүйенің бұрыштық жылдамдығы мен инерция моменті және болса, онда

және .

Егер массалар центрінен өтетін өске қатысты сыртқы күштердің бас моменті болса, онда

.

Осы заңдылықты акробаттар, биіктіктен суға секіретін спортшылар, бишілер т.б. өз іс әрекеттеріне қолданады. Ол ғарыш техникада да қолданылады.