Теоретическое введение. Законы сохранения импульса и энергии в механике

Законы сохранения импульса и энергии в механике

Импульсом теланазывается вектор, равный произведению массы тела на его скорость движения, в данной системе отсчета:

. [1]

Работой совершаемая силой при перемещении тела из точки 1 в точку 2, называется скалярная величина, равная:

[2]

где - угол между векторами силы и перемещения .

Энергия (возможность совершить работу), запасенная движущимся телом, называется его кинетической энергией:

[4]

Энергия, определяемая взаимным расположением взаимодействующих тел или частей одного тела, называется его потенциальной энергией.

В поле тяготения Земли потенциальная энергия тела массой , на высоте , относительно поверхности Земли: .

Потенциальная энергия сжатой (растянутой) на величину пружины, с коэффициентом упругости : .

Механической системой называется совокупность материальных точек (тел), рассматриваемых как единое целое. Система тел называется изолированной (замкнутой), если тела, входящие в нее, взаимодействуют только между собой и не взаимодействуют с другими телами не входящими в нее.

Для описания системы материальных точек (тел) в некоторой системе отсчета, вводится понятие радиус-вектора центра масс (центра инерции) системы:

[2]

где и масса и радиус-вектор - того тела системы, - сумма масс всех тел, входящих в систему. Найдем скорость центра масс системы:

[3]

где импульс - того тела системы, - векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему. Согласно второму закону Ньютона ускорение центра масс (при скоростях движения тел много меньше скорости света ) равно:

[4]

где - векторная сумма всех внешних и внутренних сил, действующих на тела системы. По третьему закону Ньютона векторная сумма всех внутренних сил взаимодействия тел системы между собой будет равна нулю, поэтому:

[5]

Таким образом, поступательное движение системы тел, можно описать как движение центра масс системы, под действием векторной суммы внешних сил.

В замкнутой системе векторная сумма всех внешних сил равна нулю , тогда векторная сумма импульсов тел сохраняется– закон сохранения импульса:

[6]

Отметим, что импульс остается постоянным и для не­замкнутой системы при условии, что внешние силы в сум­ме дают нуль. В случае, когда сумма внешних сил не равна нулю, но проекция этой суммы на некоторое направление есть нуль, сохраняется составляющая импульса в этом направлении.

Полная механическая энергия системы тел, в поле тяготения Земли, мо­жет быть представлено как сумма кинетических энергий поступательного движения всех тел системы и их потенциальных энергий взаимодействия с Землей :

[7]

где -расстояние по вертикали - того тела от точки, потенциальная энергия, которой принята равной нулю (например – точка на поверхности Земли).

В замкнутой консервативной системе (при отсутствии потерь на преодоление сил сопротивления) сумма их полных механических энергий [7] сохраняется - закон сохранения полной механической энергии.

Соударение тел

При соударении тел друг с другом они претерпевают деформации. При этом кинетическая энергия, которой обладали тела перед ударом, частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации и в так называемую внутреннюю энергию тел. Увеличение внутренней энергии тел сопровождается повышением их температуры. Существует два предельных вида удара: абсолютно упругий и абсолютно неупругий.

Абсолютно упругим называется такой удар, при котором механиче­ская энергия тел не переходит в другие, немеханические, виды энергии. При таком ударе кинетическая энергия пе­реходит полностью или частично в потенциальную энер­гию упругой деформации. Затем тела возвращаются к первоначальной форме, отталкивая друг друга. В итоге потенциальная энергия упругой деформации снова пере­ходит в кинетическую энергию, и тела разлетаются со скоростями, модуль и направление которых определяются двумя условиями — сохранением полной энергии и сохра­нением полного импульса системы тел.

Абсолютно неупругий удар характеризуется тем, что кине­тическая энергия тел полностью или частично превращается во внутреннюю энергию; после удара столкнувшиеся тела либо движутся с одинаковой скоростью, либо поко­ятся. При абсолютно неупругом ударе выполняется лишь закон сохранения импульса, закон же сохранения меха­нической энергии не соблюдается: имеет место закон со­хранения суммарной энергии различных видов — меха­нической и внутренней.

Удар называется центральным, если шары до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры инерции.

Описание установки и расчетные формулы

Схема лабораторной установки показана на рис. 1. К штативу 1 прикреплены два шара. Углы отклонения подвесов от вертикали определяются по шкалам 3. Электромагнит 4 служит для удержания одного из шаров в отклоненном положении.

Рассмотрим пример соударения шаров, приведенный на рис. 2. Отведем один из шаров (например, левый) на некоторый угол a₁ и отпустим без начальной скорости. Отклоненный шар будет двигаться, вниз разгоняясь, при этом его потенциальная энергия будет переходить в кинетическую.

Пусть столкновение со вторым шаром происходит в тот момент, когда нить первого шара становится вертикально. По закону сохранения механической энергии:

[8]

где т₁ – масса шара, g – ускорение свободного падения, h – высота шара в отведенном положении относительно нижней точки траектории, V₁ – скорость первого шара в нижней точке перед соударением со вторым.

Из рисунка 2 видно, что

[9]

где – расстояние от точки подвеса до центра тяжести шара, – угол начального отклонения нити. Подставляя [9] в [8] и преобразуя уравнение, найдем выражение для скорости через угол начального отклонения:

[10]

Массы шаров подобраны так, чтобы после удара они разлетелись в разные стороны. После удара шары получают скорости и , и, разлетаясь, отклоняют нити на максимальные углы и соответственно. Аналогично соотношению [10] получаем:

и [11]

Если удар происходит достаточно быстро, так, что нити во время удара не успевают отклониться на заметный угол, то в направлении горизонтальной оси х выполняется закон сохранения импульса в проекции на эту ось:

[12]

При ударе шаров, близком к абсолютно упругому удару, должен также выполняться закон сохранения полной механической энергии:

[13]

При абсолютно неупругом ударе шаров полная механическая энергия не сохраняется и выполняется только закон сохранения импульса. Зная скорость движения шара 1 до удара и, скорость соединившихся шаров 1 и 2 после неупругого удара , можно найти энергию, перешедшую из кинетической в другие формы (тепловую и потенциальную энергию деформации шаров):

[14]

Если известна длительность удара t, то из второго закона Ньютона по изменению импульса одного из шаров (например, левого) можно определить среднюю силу взаимодействия между шарами:

[15]

Примечание: В формулах [12] - [15], учтено, что скорость .