Теорема

Столбцы матрицы , входящие в базисный минор, образуют линейно независимую систему. Любой столбец матрицы линейно выражается через остальные столбцы из базисного минора.

В матрице размеров минор -го порядка называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры -ro порядка равны нулю или их вообще не существует.

Следствие. Если все столбцы матрицы линейно выражаются через столбцов , которые образуют линейно независимую систему, то ранг матрицы .

Что означает фраза "ранг матрицы равен r"? Она означает, что есть хотя бы один минор r-го порядка, который не равен нулю. Напомню, что такой минор называется базисным. Базисных миноров может быть несколько. При этом все миноры, порядок которых выше r, равны нулю или не существуют.

Если коэффициенты при r переменных совместной СЛАУ образуют базисный минор матрицы системы A, то эти r переменных называют базисными или основными. Остальные n−r переменных именуют свободнымиили неосновными.

Выбрать r базисных переменных в общем случае можно различными способами.

Решение СЛАУ, в котором все свободные переменные равны нулю, называется базисным.