Скорости и ускорения в различных системах отсчета

Обычно на практике механическое движение какого-то тела могут изучать несколько наблюдателей, находящихся в различных системах отсчета. В связи с этим возникает необходимость в сравнении результатов, полученных в различных системах отсчета. И, кроме того, от выбора системы отсчета зависит объем вычислений при решении практических задач.

Заметим, что ниже приведенные соотношения справедливы для скоростей движения значительно меньших скорости света в вакууме ( ).

Постановка задачи. Имеются две произвольные системы отсчета и , движущиеся относительно друг друга. Известны скорость и ускорение точки в системе. Каковы значения величин и в системе.

Рассмотрим три наиболее важных случая движения одной системы отсчета относительно другой.

1. система движется поступательно по отношению системе.

Пусть положение движущейся точки в системе определяется радиус–вектором , а в системе –– радиус–вектором (см. рис. 1.7). система движется поступательно относительно системы. Положение начала отсчета системы (точка ) определяет радиус–вектор .

Очевидно что, векторы и связаны соотношением:

. (1.43)

Для бесконечно малых перемещений и точки соответственно в исистемах справедлива формула:

. (1.44)

Скорости точки ( и ) в исистемах связаны следующим соотношением:

, (1.45)

где скорость системы относительно системы.

Для ускорений имеем равенство:

, (1.46)

где ускорение точки в исистемах соответственно, ускорение системы относительно системы.

Из соотношений (1.44)––(1.46) следует, что перемещение, скорость и ускорение точки , в общем, зависят от выбора системы отсчета, т.е. не являются инвариантными величинами для различных систем отсчета.

Однако, в том случае, когда система движется поступательно с постоянной скоростью ( ), ее ускорение , и, следовательно, имеем равенство:

. (1.47)

В этом случае ускорение точки постоянно в исистемах. Полученный вывод очень важен, поскольку позволяет установить критерий, согласно которому модно выбирать такие системы отсчета, в которых величины ускорений движущейся точки не зависят от системы отсчета. Этому критерию удовлетворяют, как мы позднее убедимся, инерциальные системы[2] отсчета.

2.

система вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси, неподвижной в системе.[3]Совместим исистемы, начало отсчета возьмем на оси вращения. В этом случае, в начальный момент времени радиус–вектор точки можно выбрать одинаковым в исистемах ( ). Пусть и скорости точки в исистемах, тогда перемещение этой точки в системе равно , а перемещение системы относительно –– (см. рис. 1.8). При этом угол поворота системы за время равен .

Перемещение точки в системе равно:

. (1.48)

Соотношение для скоростей и в исистемах имеет вид:

. (1.49)

Ускорения и в исистемах связаны соотношением:

. (1.50)

Второе слагаемое в равенстве (1.50) называют кориолисовым ускорением, а третье слагаемое –– осестремительным ускорением:

, . (1.51)

Пусть вектор, проведенный в точку перпендикулярно оси вращения, тогда равенство (1.50) примет вид:

. (1.52)

Для определения направления вектора , используют равенство (1.51) и правило буравчика, осестремительное ускорение направлено против вектора к оси вращения системы.

3. система вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси, перемещающейся поступательно со скоростью относительно системы.[4]

Пусть скорость поступательного движения точки , являющейся точкой отсчета системы, а вектор угловой скорости вращения системы. Этот случай объединяет два предыдущих.

Для векторов скорости и точки в и системах справедлива формула:

. (1.53)

где все обозначения описаны ранее в пункте 2.

Ускорения точки в и системах ( , ) удовлетворяют следующему соотношению:

. (1.54)

Следует заметить, что все обозначения величин, входящих в соотношения (1.53)–(1.54), описаны ранее в пункте 2.

Вопросы для самоконтроля.

1. Какими соотношениями связаны между собой перемещения, линейная скорость и ускорение движущейся точки, если система движется поступательно по отношению системе?

2. Какими соотношениями связаны между собой перемещения, линейная скорость и ускорение движущейся точки, если система вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси, неподвижной в системе?

3. Какими соотношениями связаны между собой перемещения, линейная скорость и ускорение движущейся точки, если система вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси, перемещающейся поступательно со скоростью относительно системы?

4. По какой формуле находится величина осестремительногоускорения? Куда направлен вектор осестремительногоускорения?

5. По какой формуле находится величина ускорения Кориолиса? По какому правилу определяется направление вектора ускорения Кориолиса?

* Дуговая координата алгебраическая величина, численно равная пройденному пути точкой.

[2] В инерциальных системах отсчета величина ускорения точки зависит только от сил, действующих на нее.

[3] Материал для дополнительного изучения

[4] Материал для дополнительного изучения