Прямая на плоскости

Пусть в ПДСК дана прямая l, М₀ – некоторая фиксированная точка этой прямой, а М – текущая точка прямой l. Обозначим `S произвольный вектор, параллельный этой прямой (рис.3), а `r = и`r<sub>0</sub> = – радиус векторы точек М и М<sub>0</sub> в ПДСК. Тогда можно записать = `r –`r₀.

Очевидно, точка М лежит на прямой l тогда и только тогда, когда вектор параллелен этой прямой, и, следовательно, параллелен вектору `S. Значит, должно выполняться условие = , где t ÎR – некоторое число, для каждой точки М – свое. Следовательно, для точек прямой l справедливо равенство`r –`r₀ = , или

`r =`r₀ + (1).

Это равенство называется векторным уравнением прямой. Вектор `S называется направляющим вектором этой прямой.

Таким образом, всякая прямая может быть однозначно задана точкой (М₀) и вектором (параллельным этой прямой).

Мы рассмотрели случай пространственной прямой, но нигде это явно не отражалось. Значит, векторное уравнение (1) определяет как пространственную, так и плоскую прямую.

Рассмотрим ПДСК в R². Пусть М₀(х₀, у₀), М(х, у), `S = (m, n). Из равенства (1) получим (х, у) = (х₀, у₀) + t(m, n), или

, (2)

Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой на плоскости. Если уравнения (2) преобразовать к виду

,

то отсюда следует уравнение

, (3)

Напомним еще раз, что и в уравнении (3), и в уравнении (2) (х₀; у₀) – координаты точки, лежащей на прямой, ­ (т; п) – координаты направляющего вектора`S этой прямой (вектора, параллельного прямой):

Эти уравнения называют также уравнениями прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору.

Если вектор `S = , где М<sub>0</sub>(х<sub>0</sub>, у<sub>0</sub>) и М<sub>1</sub>(х<sub>1</sub>, у<sub>1</sub>) – точки, лежащие на прямой l, то `S = (х₁ – х₀, у₁ – у₀), следовательно, уравнение (3) можно представить в виде

, (4)

п(х – х₀) = т( у₁ – у₀), п(х – х₀) – т( у₁ – у₀) = 0.

Обозначим здесь А = п, В = –т, получим

А(х – х₀) + В( у₁ – у₀) = 0, (5).

Обозначим`N = (А, В). Нетрудно убедиться в том, что векторы `N и `S ортогональны:

(`N,`S ) = Ат + Вп = пт + (–т)п = 0.

Если в уравнении (5) А и В – произвольные числа, то это уравнение называют уравнением пучка прямых, проходящих через точку М₀(х₀, у₀).

В уравнении (5) раскроем скобки

Ах + Ву +(–Ах₀ – Ву₀) = 0

и обозначим С = –Ах₀ – Ву₀. Получим уравнение

Ах + Ву + С = 0, (6)

– общее уравнение прямой. Коэффициенты А и В в общем уравнении определяют координаты нормального вектора этой прямой:`N = (A; B) ^ l.

Справедлива теорема:

Теорема 4.1.

Любое уравнение первой степени (линейное) относительно переменных х и у определяет на плоскости прямую линию, и наоборот, любая прямая на плоскости может быть задана линейным уравнением вида

Ах + Ву + С = 0.

Исследуем расположение прямой относительно системы координат по ее общему уравнению Ах + Ву + С = 0.

Если С = 0, А, В ¹ 0, то прямая Ах + Ву = 0проходит через начало координат (координаты точки (0, 0) удовлетворяют этому уравнению, значит, она лежит на данной прямой).

Если А = 0, а В, С ¹ 0, то прямаяВу + С = 0параллельна оси ОХ(нормальный вектор этой прямой имеет координаты (0,В), т.е. перпендикулярен оси ОХ, поэтому прямая и ось параллельны).

Если В = 0, А, С ¹ 0, то прямая Ах + С = 0параллельна оси ОУ(в этом случае нормальный вектор имеет координаты (А, 0), т.е. параллелен оси ОХ, и, значит, перпендикулярен оси ОУ, поэтому и прямая параллельна оси ОУ)

Если А = 0, С = 0, В ¹ 0, то уравнение Ву = 0 определяет ось ОХ (прямая параллельна оси ОХ и проходит через начало координат).

Если В = 0, С = 0, А ¹ 0, то уравнение Ах = 0 определяет ось ОУ.

Если В ¹ 0, то Ву = Ах – C, или . Обозначим k = – , а b = – , тогда уравнение (6) примет вид

y = kx + b, (7)

– уравнение с угловым коэффициентом. Коэффициенты k и b имеют простой геометрический смысл:

k = tga, где a – угол между прямой и положительным направлением оси ОХ (k называют угловым коэффициентом прямой),

b – ордината точки пересечения прямой с осью ОУ (величина отрезка, отсекаемого прямой на этой оси). Если k = 0, то прямая параллельна оси ОХ; если b = 0, то прямая проходит через начало координат.

Если С ¹ 0, то Ах + Ву = –С, откуда

, или .

Обозначим здесь а = – , b = – , получим

, (8)

– уравнение прямой в отрезках на осях.

Уравнение получило такое название, исходя из геометрического смысла чисел а и b:

а – величина отрезка, отсекаемого прямой на оси ОХ,

b – величина отрезка, отсекаемого прямой на оси ОУ.

Таким образом, прямая (8) проходит через точки (0 ; b) и (а ; 0).

Из всего вышесказанного можно сделать следующий вывод:

чтобы найти уравнение прямой, достаточно знать:

· либодве точки этой прямой (уравнение(4))

· либо точку и вектор – параллельный этой прямой (направляющий, уравнения (1), (2) (3)) или перпендикулярный этой прямой (нормальный, уравнение (5) или (6)).

Исследовать взаимное расположение прямых на плоскости можно с помощью соответствующих им векторов и точек, принадлежащих этим прямым. Если `N<sub>1</sub>, `S₁ – нормальный и направляющий векторы прямой l₁ соответственно, а `N<sub>2</sub>, `S₂ – нормальный и направляющий векторы прямой l₂, то

· l₁|| l₂ Û` N<sub>1</sub> ||`N₂, или`S<sub>1</sub>||`S₂,
или `N<sub>1</sub>^`S₂ (рис. а);

·

· l₁ = l₂ Û l₁|| l₂и существует точка М:

МÎ l₁ , МÎl₂;

· угол между прямыми можно найти как угол между соответствующими им векторами: (либо как смежный к этим углам), (рис.в);

· координаты точки М пересечения двух прямых есть решение системы уравнений этих прямых.

Расстояние d от точки М(х₀; у₀) до прямой Ах + Ву + С = 0 находят по формуле

Действительно, пусть М₁(х₁, у₁) произвольная точка этой прямой, а `N =(А, В) – ее нормальный вектор. Тогда расстояние d = = .

Поскольку = (х₀ –х₁, у₀ – у₁), то

d = =

=

Т.к. точка М₁ Î l, то Ах₁ +Ву₁+ С = 0, откуда –Ах₁ –Ву₁= С . Тогда получаем d = .

Замечание: Если М₀(0,0), то d = |С|, т.е. коэффициент С в общем уравнении прямой характеризует отклонение прямой от начала координат.