Прямая в пространстве.

Рассмотрим векторное уравнение прямой `r =`r₀ + (1), где `r<sub>0</sub> – радиус-вектор произвольной фиксированной точки прямой, а `S – направляющий вектор этой прямой (т.е. вектор, параллельный этой прямой). Если М₀(х₀, у₀, z₀) и `r₀ = (m, n. p), то из (1) имеем

(х, у, z) = (х₀, у₀, z₀) + t(m, n. p),

откуда получим

, (14)

– параметрические уравнения прямой в пространстве. Исключая t из этих уравнений получим

, (15)

– канонические уравнения прямой.

Если известны две точки М₁(х₁, у₁, z₁) и М₂(х₂, у₂, z₂) прямой, то ее уравнения можно записать в виде

, (16)

– уравнения прямой, проходящей через две заданные точки М₁(х₁, у₁, z₁), М₂(х₂, у₂, z₂).

Прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей, поэтому она может быть задана системой двух линейных уравнений – уравнений плоскостей, пересечением которых является:

. (17)

При этом говорят, что заданы общиеуравнения прямой в пространстве.

Здесь a₁: А₁х + В₁у + C₁z + D₁ = 0 и a₂: А₂х + В₂у + C₂z + D₂ = 0 – плоскости, линией пересечения которых является данная прямая l. Заметим, что направляющий вектор `S прямой l ортогонален векторам `N₁и`N₂ – нормальным векторам плоскостей

Таким образом, чтобы найти уравнения прямой в пространстве, достаточно знать

· либо две ее точки (уравнения (16));

· либо точку и направляющий (параллельный) вектор этой прямой (уравнения 14 или 15);

· либо две плоскости, пересечением которых прямая является (уравнения 17).

Заметим, что из канонических уравнений прямой легко определить пару плоскостей, пересечением которых является данная прямая. Достаточно рассмотреть «парные» равенства, например,

, откуда получим

Т.е. прямая представлена как пересечение плоскостей, параллельных осям координат (первая параллельна оси ОZ, вторая – оси ОУ).

Таким образом, от канонических уравнений (или уравнений вида (16)) нетрудно перейти к общим уравнениям прямой в R³.

Наоборот, если по общим уравнениям (17) нужно записать канонические уравнения, то это можно сделать двумя способами:

1) Найти общее решение СЛУ (17) (она всегда совместна и неопределенна, т.к. существует линия пересечения данных плоскостей); по общему найти два произвольных частных решения – две точки искомой прямой; по ним записать уравнение (16) и преобразовать в(15).

2) Найти частное решение СЛУ (17), придав какое-либо значение одной из переменных. Это можно сделать, т.к. система содержит 3 неизвестных и два уравнения, ранг системы равен 2, т.к. плоскости пересекаются, а не совпадают, значит, одна переменная – свободная, ей придаем произвольное значение. Затем найти направляющий вектор`S = `N₁´`N<sub>2</sub>, где `N₁и`N<sub>2</sub> – нормальные векторы плоскостей, уравнения которых указаны в системе (17). Указанный вектор является направляющим для данной прямой, т.к., по определению от перпендикулярен векторам `N₁и`N₂. Записать уравнение (15).

Например, найдем канонические уравнения прямой по ее общим уравнениям

.

Положив в этих уравнениях z = 0, получим , откуда у =15, х =27. Таким образом, точка (27, 15, 0) лежит на данной прямой.

Найдем `S = `N₁´`N₂ = .

Таким образом, `S = (-9, -5, -1). Тогда канонические уравнения прямой имеют вид

Изучение взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве может быть сведено к изучению взаимного расположения соответствующих этим прямым и плоскостям векторов и точек.

· l₁ || l₂ Û `S<sub>1</sub> || `S₂ ;

·

· a ^ l Û `N ||`S

· l Î a Û `N ^`S и $ М₀Îa, М₀Îl.

· Угол между прямой и плоскостью равен углу, дополнительному к углу между нормальным вектором `N плоскости a и направляющим вектором `S прямой l, т.е. = –