Глава 4. Кибернетические модели и их математическое описание.

"Черный ящик". - Концепция "вход-выход". - Оператор как модель для описания концепции "вход-выход". - Линейный оператор (однородный и неоднородный). - Матрица, операции дифференцирования и интегрирования как примеры линейных операторов. - Процессы "без памяти" - Марковские процессы. - Уравнение Колмогорова (Фоккера-Планка) и его статистическая интерпретация. – Вопросы и задания.

"Черный ящик".

Как мы уже знаем, исследуемый объект, рассматриваемый как система, входит составной частью в целый ряд разных иерархических систем. В социальных и экономических системах – в основном объекте изучения экономической кибернетики – главным действующим лицом является человек. Поэтому, изучая конкретную социальную или экономическую задачу, мы вынуждены «обрывать» на некотором этапе иерархию систем, «идущую вниз». Сделаем ли мы это на человеке, или на некоей совокупности людей – это уже зависит от исследуемой задачи.

В качестве «наименьшего» элемента, который мы будем рассматривать как «неделимый», конечно, не обязательно выступает человек. Вполне может оказаться, что в качестве такого «неделимого» элемента мы будем рассматривать, например, отдельные фирмы (для задач оптимизации управления экономикой региона), социальные группы (для задач распределения средств госбюджета), или отрасли экономики (при рассмотрении баланса ресурсов в рамках валового внутреннего продукта).

Другими словами: на некотором этапе исследования некие составляющие нашу систему элементы полагаются нами уже не системами, а «конечными» и «неделимыми» объектами. Таким образом, иерархия систем разворачивается вверх, исходя от таких объектов, которые, тем самым, становятся объектами самого низкого уровня иерархии.

Такой объект – в силу сделанных нами предположений (то есть с нашей ситуативной точки зрения) – уже не будет иметь «внутреннего строения». Поэтому он должен рассматриваться как объект, который может быть охарактеризован - в рамках рассматриваемой нами задачи – только двумя классами характеристик. Необходимость этого возникает вследствие той причины, что такие объекты должны формировать систему – то есть они должны обладать возможностью образовывать связи друг с другом.

Но это возможно только при выполнении двух условий.

Во-первых, объект должен обладать способностью воспринимать воздействие со стороны других подобных объектов (это может быть информация, сведения, данные, сигналы и т.п.). Во-вторых, он сам должен обладать способностью «генерировать» такие воздействия, которые будут оказывать влияние на другие подобные ему объекты. Наконец, в-третьих, и воспринимаемые, и генерируемые воздействия должны принадлежать к одному и тому же классу, то есть характеризоваться «примерно одинаковыми» переменными, данными, характеристиками. (Последнее условие не всегда является обязательным: например, некоторые такие объекты могут быть «задействованы напрямую» на более высокие иерархические уровни. Однако, как правило, такое бывает чрезвычайно редко, и поэтому это третье условие часто упускают. Не будем пока что его рассматривать и мы – однако в последних главах книги будут приведены примеры, показывающие важность наличия такого условия).

Таким образом, приходим к определению

Фрагмент системы, который рассматривается как единое целое и характеризуется только своим «входом» (обладая, тем самым, способностью воспринимать воздействия от других фрагментов системы) и «выходом» (посредством которого он сам взаимодействует с другими объектами системы, в том числе и «отвечает» на из воздействия на него), называется черным ящиком.

Черный ящик – это, пожалуй, наиболее мощное абстрактное понятие, существующее в рамках кибернетики. Именно вследствие его введения появляется возможность построения замкнутых систем, моделирующих исследуемый объект или процесс. Черный ящик – это «мера нашего незнания» об исследуемой системе.

Как правило, он обозначается следующим образом в виде прямоугольника, в который входящими стрелочками обозначены входные (in) характеристики черного ящика – параметры, которые им преобразуются в выходные (out) характеристики черного ящика.

		Черный ящик

Концепция "вход-выход".

Итак, чтобы задать (например, описать) черный ящик, необходимо задать соответствие «входные параметры» - «выходные параметры». При этом следует помнить, что внутреннее строение такого ящика остается для нас неизвестным: мы не знаем, как он устроен, не знаем, как он функционирует, не знаем, какие он может иметь состояния и как осуществляется переход между его состояниями (даже если они у него есть). Единственное, что можно сказать – это только построить модель описания входных характеристик такого объекта (совокупность классов переменных, на которые он «отвечает»), и соотнести ее (определенными соотношениями) с моделью выходных характеристик черного ящика (то есть с совокупностью классов переменных, в рамках которых могут быть выражены его «ответы»).

В общем случае, тем самым предполагается, что такой объект – черный ящик – интегрирован в качестве «активного элемента» в некую систему. Особенно наглядно это видно в случае графического (например, в виде блок-схемы) описания системы.

Данные (характеристики, параметры, информация и т.п.), которыми характеризуется вход, часто называются входными сигналами черного ящика. Данные (характеристики, параметры, информация и т.п.), которыми характеризуется выход, часто называются выходными сигналами черного ящика. Такая терминология пришла из технических систем, к которым и было впервые применено представление о черном ящике.

Оператор как модель для описания концепции "вход-выход".

При переходе к математическим моделям, на математический уровень описания, такой преобразователь переменных из одного множества (входные характеристики) в другое (выходные характеристики) моделируется оператором.

Известно математическое определение оператора:

Пусть V и W - некие множества (например, векторные или линейные пространства). ОператоромА, действующим из V в W, называется отображение вида A: V®W, которое сопоставляет каждому элементу х множества V некоторый элемент у множества W. Как правило, для оператора используется обозначение у=А(х) или у=Ах.

Таким образом, черный ящик выступает как оператор в том случае, когда:

1) Параметры, которые характеризуют вход черного ящика, могут быть сгруппированы в некое множество V .

2) Параметры, которые характеризуют выход черного ящика, могут быть сгруппированы в некое множество W.

3) Задано некоторое правило (алгоритм, способ преобразования, расчета, и т.п.), которое позволяет по известному входному сигналу – значению х из множества V, рассчитать значение у из множества W выходных сигналов черного ящика.

В силу сказанного, черный ящик выступает как модель исследуемой системы. А в операторе, которым он моделируется, и заключена, по сути, математическая модель элемента, составляющего нашу систему. По этой причине, математическое описание черного ящика и отодвинуто, как правило, на последние этапы моделирования.

Линейный оператор.

Важным классом операторов являются так называемые линейные операторы. Хотя сегодня поле деятельности в моделировании реальных систем с помощью линейных операторов крайне ограничено, они, тем не менее, все еще выступают в качестве мощного средства математического анализа систем.

Как мы уже писали, модели систем также являют собой иерархическую систему логически связанных терминов и понятий. Поэтому достаточно часто оказывается, что система, которая описывается нелинейным образом на определенном уровне логической глубины понимания, на более высоком уровне вполне может быть описана в рамках уже линейного аппарата и линейных операторов. Примеры таких описаний будут приведены в последующих главах.

Однако вернемся к линейным операторам. Дадим, наконец, их определение.

Оператор А, действующий из V в W, называется линейным, если для любых элементов х₁ их₂ из множества V и любого комплексного числа l выполняются соотношения:

1) А(х₁+х₂)=Ах₁+Ах₂ (свойство аддитивности оператора), и

2) А(lх)=lАх (свойство однородности оператора).

Примеры линейных операторов.

Приведем несколько примеров математических объектов, которые являются линейными операторами.

Матрица как линейный оператор.

Обычная матрица является линейным оператором, если рассматривать ее как преобразование одного вектор-столбца х в другой вектор-столбец, у.

(4.1)

Соотношения (4.1) записаны для случая квадратной матрицы оператора А, что соответствует тому, что множества Х и У в нашем случае совпадают и представляют собой совокупности вектор-столбцов размерности n.

Легко убедиться, что матрица действительно является линейным оператором. Действительно, первое условие выполняется вследствие свойства умножения матриц. Второе условие доказывается путем перегруппировки множителей в записи умножения матриц:

(4.2)

Здесь под знаком матрицы был расписан i–тый элемент матрицы-столбца, соответствующего результату умножения квадратной матрицы на вектор-столбец.

Таким образом, матрица, известная из курса высшей математики, в рамках экономической кибернетики может рассматриваться как линейный оператор, который моделирует ряд свойств черного ящика. В частности, таким образом могут описываться модели управления – тогда вектор-столбец х являет собой необходимую для решения информацию, а вектор-столбец у – описывает само решение. Матрица А в этом случае – это сокращенная запись алгоритма принятия решений, который соответствует нашей модели.

Операция дифференцирования как линейный оператор.

Операция дифференцирования – взятия производной от определенной функции – также является линейным оператором.

В этом случае Х – это множество всех (дифференцируемых нужное количество раз!) функций, а У – это тоже множество функций (но уже дифференцируемых количество раз, на единицу меньше, чем у функций из множества Х!).

Обозначая элемент множества Х через f(t), легко проверяем выполнимость условий 1) и 2) из определения линейного оператора.

(4.3)

Отметим, что, как легко доказывается таким же способом, оператор

(4.4)

где Q(t) – произвольная функция, также является линейным. Подчеркнем, что в записи (4.4) первым на функцию f(t) всегда действует дифференцирование, а уж потом – умножение результата дифференцирования на функцию Q(t). Выполнение именно такой последовательно действий чрезвычайно важно, в чем легко убедиться, сравнивая результаты двух разных алгоритмов действий: первого – «сначала продифференцировать а уж потом умножить», и второго – «сначала умножить, а уж потом продифференцировать»!

В качестве примера использования «силы» операторного метода в математике, рассмотрим так называемый операторный метод решения линейных дифференциальных уравнений (впервые предложен Оливером Хевисайдом в конце ХIХ века).

Обозначим оператор дифференцирования – взятия производной – через D. Тогда через D⁽ⁿ⁾ будет обозначаться n–тая производная от рассматриваемой функции. Произвольное линейное дифференциальной уравнение степени n с постоянными коэффициентами запишется тогда в виде

(4.5)

Здесь P_n(x) – это многочлен относительно переменной х, которая заменена в (4.5) на символ дифференцирования. Этот многочлен называется символом оператора P_n(D).

Известно, что любой многочлен степени n может быть представлен в виде

(4.6)

Соотношение (4.6) учитывает, что, в общем случае, наш многочлен имеет кратные корни.

Таким образом, уравнение (4.5) принимает вид

(4.7)

«Вот хорошо было бы, если бы можно было произведение перенести в виде частного в правую часть» – подумали, вероятно, многие из читателей! Тогда бы уравнение (4.7) «решилось» бы автоматически. Как ни удивительно, - такое вполне можно сделать! Конечно, для этого придется определить целый ряд процедур – но «овчинка выделки стоит»!

Нетрудно (например, по методу математической индукции) доказать справедливость следующего соотношения:

(4.8)

Теперь рассмотрим линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

(4.9)

Правая часть его может быть, с учетом сказанного выше, преобразована к виду

(4.10)

Теперь определим, что следует понимать под символом 1/D. Как известно, операцией, обратной к операции дифференцирования, является операция интегрирования. Поэтому естественно определить интересующий нас оператор следующим образом:

(4.11)

Возвращаясь к дифференциальному уравнению (4.9), с учетом (4.10) и (4.11), получим символическую запись его решения:

(4.12)

(Полезно сейчас открыть учебник по дифференциальным уравнениям и посмотреть, как это все было получено в курсе высшей математики!)

Теперь уже легко записать выражение для символической записи процедуры нахождения решения уравнения (4.7) – для простоты полагаем, что все его корни – простые.

(4.13)

Как быть с кратными корнями? Да рассмотреть их просто как произведение простых!

Что собой представляют записи (4.12) и (4.13)? Это просто символическая запись последовательных действий – алгоритма «умножение на экспоненту + последующее интегрирование». Однако сила его – в простоте записи! Кстати, в последнем равенстве формулы (4.13) получено также определение величины, являющейся обратной к операторному многочлену.

Почему нам удалось получить столь «сокращенное» решение? Мы просто перешли на иной, более высокий уровень общности в описании дифференциальных уравнений. Попутно мы ввели ряд новых понятий, и научились с ними работать – путем их сведения к «старым и известным» понятиям и процедурам.

Этот пример выделен нами, потому что он очень хорошо отражает все те этапы, которые являются характерными для перехода от вербальных и иных моделей системы к моделям математическим. Части при этом мы вынуждены вводить некие новые понятия, термины и математические объекты, а затем уже – устанавливать их взаимосвязь с уже известными. Собственно, все развитие науки свидетельствует об этом. Это же придется делать и в процессе моделирования социальны и экономических систем.

На самом деле, еще много важных математических деталей из описанного примера остались без ответа. Но зададимся вопросом: а так ли уж и нужны нам эти математические детали, так ли уж важны они для нас в процессе решения практических задач?! Получив решение – мы всегда сможем проверить, удовлетворяет ли оно нашему уравнению и нашим граничным условиям! А математическая строгость не всегда-то и нужна при решении практических задач. Посему – смело вводите новые математические операции, термины и понятия, руководствуясь всего одним, но главным критерием: они должны помогать решению исследуемой задачи! Собственно, именно так на протяжении всего развития науки и поступали ученые. Сам Оливер Хевисайд применял свое исчисление (которое долгое время так и называли – «исчисление Хевисайда»), - математическая строгость была наведена только лет через 10-15 после его смерти. Поль Дирак – ввел функцию, которая резко отличалась от всего, что было известно ранее математикам: они объяснили это только через 20 лет. Ричард Фейнман ввел математические операции, с которыми математики мучаются до сих пор! Вернер Гейзенберг ввел операции, которые помогли ему объяснить квантовые эффекты, - и математики лишь потом поняли, что это всем известные матрицы! Вы как специалисты в области экономической кибернетике будете занимать в области экономики весьма специфическое место и играть весьма специфическую роль вследствие знания математики в объеме, превосходящем то, что знают экономисты. Ваша профессиональная деятельность – построение моделей и их исследование. Именно через Вас и могут входить в экономику новые математические структуры, новый математический аппарат, новые математические идеи. Так не упустите свой шанс!