Операция интегрирования.

С операцией интегрирования, после всего рассмотренного выше, вопросов не возникает: конечно, она – взятие неопределенного интеграла – также является оператором линейным. Собственно, об этом говорилось еще в рамках курса высшей математики – но тогда Вы даже и не подозревали, что это, по сути, идет рассказ о математических моделях!

Свойство некоего объекта быть «дифференцирующим» (иногда – «разностным») или «интегрирующим» (иногда – «суммирующим») часто задаются как функции неких черных ящиков, которые выполняют в системе некие управляющие функции. Особенно наглядно это для радиосхем, - однако и социальные системы демонстрируют нам много таких же примеров. Что такое банк? – это объект «интегрирующий». Что такое рейтинги – экономические или социальные? – это процедура дифференцирования.

Процессы "без памяти" - марковские процессы.

Рассмотрим систему. Пусть она может быть в некотором количестве разных состояний. Пусть вследствие каких-то причин – то ли внутреннего, то ли внешнего происхождения – система будет переходить из одного состояния в другое.

Такие переходы могут быть двух родов. Переходы первого рода – когда система из состояния i переходит в состояние k: i®k, и притом такой переход осуществляется всегда. Таким образом, процессы в системе – для этого класса случаев – могут быть заданы как цепочка сменяющих друг друга состояний.

Но может быть и другой случай: система осуществляет переход i®k в вероятностном смысле. Другими словами, конечное состояние системы уже не фиксировано (как было ранее!), и для следующего состояния системы открыты, в общем случае, все состояния (включая и вероятность – возможность – остаться в прежнем).

Для практических приложений весьма важное значение имеет случай, когда вероятности перехода системы в иное состояние зависят только от текущего ее состояния, - то есть от того состояния, в котором она находится в настоящий момент, но не от того, в каких состояниях она находилась ранее.

Именно такие случаи имеют место во многих экономических ситуациях. Нам, например, совершенно безразлично, какие достижения имела фирма ранее: нас, как инвесторов, интересует ее прогноз на будущее – а он определяется только ее настоящим положением на рынке.

Таким образом, случайные процессы могут служить достаточно мощным аппаратом для моделирования динамики, смены состояний и перспектив развития в социальных и экономических системах. Существуют разные способы рассмотрения такой случайности. Например, случайность может быть «введена» в на уровне модели исследуемой системы посредством того, что переходы между состояниями системы осуществляются в случайные моменты времени. Или же – сами переходы являются случайными, - например, существует вероятность перехода в несколько разных состояний. В общем же случае – может быть все: и случайные моменты времени, и случайные переходы между состояниями, да и сами вероятности таких переходов могут быть случайными – например, когда они происходят под воздействием случайных изменений во внешней по отношению к исследуемой системе среде. Заметим, что в последнем случае мы приходим к модели описания взаимодействия изучаемой системы со внешней средой!

Конечно, далеко не все интересные – с точки зрения специалиста в области экономической кибернетики – случаи имеют хорошо развитый математический аппарат. Однако выделяется класс случайных процессов, для которых получены весьма мощные математические результаты, что позволяет успешно применять их во многих областях (см., например, следующую главу).

Случайный процесс является марковским, когда любая дополнительная информация, кроме знания ее текущего состояния X_t, является несущественной для осуществления прогноза дальнейшей смены состояний системы.

Именно требование будущее зависит только от настоящего и приводит к тому, что часто марковские процессы называют «процессами без памяти».

Существует достаточно большое количество вариантов математического аппарата для марковских процессов. Ниже остановимся на том их варианте, который используется при моделировании социальных и экономических систем с помощью стохастических дифференциальных уравнений. Идея этого подхода к моделированию состоит в том, что взаимодействие системы с внешним окружением полагается изменяющимся случайным образом (более подробно – см. следующую главу).

В этом случае приращение состояния системы X_t задается формулой

(4.14)

Здесь полагается, что взаимодействие между исследуемой системой и внешней средой описывается при помощи случайного процесса

(4.15)

где l задается неким усредненным состоянием окружающей среды, а изменяющаяся случайная добавка – «шум» – имеет нулевое среднее значение и дисперсию, равную s².

Как видим, в (4.14) первый член является, по сути, дифференциальным уравнением, описывающим эволюцию системы. Но второй член – он описывает случайные добавки в это дифференциальное уравнение, что «портит» это уравнение самым неприятным для нас образом.

Каким же образом можно описать эволюцию такой системы во времени?

Уравнение Колмогорова (Фоккера-Планка) и его статистическая интерпретация.

Прежде чем ответить на заданный в конце предыдущего подраздела вопрос, следует получить ответ на вопрос другой: каким же образом может быть описано состояние нашей системы в произвольный момент времени?

Очевидно, что, даже если мы и имели одно состояние, уже через сравнительно непродолжительное время оно «размывается» в некое облако состояний, причем каждое состояние будет характеризоваться некоей вероятностью своего появления. Таким образом, текущее состояние исследуемой системы может быть описано только в рамках плотности вероятности P(t,x) для того, чтобы обнаружить систему в момент времени t в некоем состоянии х (мы перешли к тому, чтобы обозначать состояние маленькими буквами).

Конечно, сказанное в этой главе справедливо только для а) марковского процесса, б) непрерывности пространства состояний системы, и для в) приближения «белого шума» (когда значение амплитуды шума «не имеет памяти»). Очень многие математические детали в процессе изложения в этом разделе будут упущены – поэтому настоятельно рекомендуется при проведении самостоятельного моделирования обратиться к соответствующей литературе. Впрочем, это должно стать правилом для специалиста в области экономической кибернетики: когда при переходе к математическому моделированию возникает необходимость в применении нового для себя математического аппарата – всегда необходимо тщательно ознакомиться с ним, то есть, с теми предположениями, которые заложены в его основу. Это позволит избежать многих ошибок.

Итак, нам, зная вид уравнения (4.14) для эволюции состояния системы, необходимо найти плотность эволюцию со временем плотности вероятности для системы иметь состояние х в момент времени t. В теории стохастических дифференциальных уравнений показано, что искомая плотность вероятности P(x,t) может быть найдена из такого дифференциального уравнения в частных производных

(4.16)

Мы не будем выписывать решение этого уравнения «в общем случае» – отметим, что это, как правило, представляет собой весьма и весьма непростую задачу даже для математика-профессионала. Остановимся только на одном весьма важном для моделирования систем свойстве этого уравнения.

Уравнение (4.16) называется прямым уравнением Колмогорова, или чаще – особенно в англоязычной литературе – уравнением Фоккера-Планка. Отметим, что, в общем случае, могут быть разные интерпретации уравнения (4.14) – соответственно получатся и разные уравнения Фоккера-Планка. За деталями рекомендуем обратиться к специальной литературе.

Для широкого класса уравнений вида (4.14) уравнение (4.16) допускает стационарное решение. Это означает, что для произвольного вида начальной плотности вероятности с течением времени устанавливается _стационарная плотность вероятности, или, иными словами, имеет место асимптотический закон P(x,t)®P_s(x) при t®¥. Пользуясь формулами (4.14) или (4.16) можно даже записать вид такой стационарной плотности вероятности. Она задается формулой

(4.17)

Здесь N – нормировочный множитель, который находится по формуле

(4.18)

Если вычисленное значение N конечно, то тогда стационарная плотность вероятности существует и для ее вычисления имеет место формула (4.17). Таким образом, получаем простой алгоритм действий: если имеется задача, задаваемая уравнением вида (4.14), то мы вычисляем для нее интеграл (4.18). Если он конечен – то задача допускает существование стационарной плотности вероятности, выражение для которой может быть вычислено по формуле (4.17). (Отметим, что, в общем случае, могут встречаться случаи, когда интеграл, стоящий под знаком экспоненты в (4.17), является несобственным, - тогда задача требует специального исследования.)

В настоящей главе много математики. Однако она дается на технологическом уровне – то есть как совокупность процедур, приводящих в результате к получению решения. Специалист-кибернетик чрезвычайно часто в своей практике сталкивается с ситуацией, когда для построения математической модели ему приходится обращаться к тем разделам математики, которые являются совершенно новыми для него. И тогда он раскрывает математические книги, и начинает разбираться в нужном для него математическом аппарате. При этом ему нет необходимости знакомиться с ним весьма подробно: вполне достаточно, когда он, во-первых, поймет положения, положенные в основание той или иной математической теории или концепции, во-вторых, убедится что эти положения не противоречат положениям его модели (если такое противоречие найдется – придется отказаться либо от математики, либо от модели!), и, в третьих, когда он научится использовать этот математический аппарат – то есть когда он научится решать задачи с его использованием. А для решения задач – вот для этого, чаще всего, и нужно просто лишь знать алгоритм применения тех или иных формул или понятий. Именно на этом уровне и был написан текст этой главы.

Вопросы.

1. Дайте определение «черного ящика». Приведите примеры разных а) социальных и б) экономических систем, в которых используется этот способ моделирования. Рассмотрите известные Вам социальные или экономические модели и определите, где и как именно используется в них концепция о «черном ящике».

2. Опишите примеры использования концепции «вход-выход» при моделировании а) социальных и б) экономических систем. В частности, используется ли эта концепция в микроэкономике? Ответ аргументируйте.

3. Прочитайте любой учебник по маркетингу или маркетинг менеджменту – те его разделы, где речь идет о «моделях пользователя, покупателя или потребителя». Выделите те элементы описанных там моделей, которые используют (или могут использовать) эту концепцию. Постройте Ваши собственные модели потребителя – и сравните их с описанными в учебниках.

4. Приведите определение оператора и условий, при которых черный ящик может выполнять функции оператора. Всегда ли черный ящик является оператором? Ответ аргументируйте и приведите примеры. Рассмотрите известные Вам модели социальных или экономических задач (см., например, задачу 3) и выясните, используется ли в них черный ящик как оператор. Если нет – то опишите, что нужно сделать, чтобы такое использование черного ящика стало возможным.

5. Что такое «линейный оператор»? При каких условиях черный ящик можно рассматривать как литейный оператор? Приведите примеры.

6. Что такое случайный процесс? Приведите Ваше собственное определение для этого понятия. Приведите примеры а) социальных и б) экономических систем (объектов, явлений, процессов, задач), где появляются или используются случайные процессы.

7. Что такое «марковский случайные процесс»? Приведите примеры а) социальных и б) экономических систем (объектов, явлений, процессов, задач), где появляются или используются марковские случайные процессы. Каким условиям должна удовлетворять социальная или экономическая система, чтобы при ее описании можно было использовать концепцию марковских случайных процессов?

Задачи.

1. Докажите по методу математической индукции формулу (4.8). Подсказка: доказательство постройте по следующему алгоритму. А) вначале докажите равенство (4.8) при P_n(D)=D. Б) потом по методу математической индукции докажите равенство (4.8) при P_n(D)=Dⁿ. В) затем докажите равенство (4.8) в целом. (Доказательство приведено в учебнике В.П. Маслова «Операторные методы».)

2. Запишите формулу (4.13) для кратных корней символа – то есть для кратных корней многочлена P_n(x).

3. Решите операторным методом следующие дифференциальные уравнения: а) 5y”+35y’+60y=4x+8, б) 4y’-17y=3sinx +12, в) 3y’+7y=4x + e^5x + 6, г) y⁽⁴⁾-y⁽²⁾=e^3x, д) y⁽¹⁰⁾+y⁽⁹⁾=e^x, е) y’+3y=sinx + e^x + 4 с начальным условием y(0)=3.