Кривизна. Радиус кривизны.

Рис. 13.

Пусть M и M₁ – две близь лежащие точки одной линии. и ₁ – орты, проведенные в этих точках к линии. Перенесем орт ₁ в точку M (рис. 13). Угол e между ортами и ₁ называется углом смежности линии на участке MM₁. Средней кривизной линии на этом участке называется отношение угла смежности к длине дуги этого участка:

.

Кривизной линии в точке M называется предел, к которому стремиться средняя кривизна на участке MM₁, когда точка M₁ стремиться к точке M:

.

Радиус кривизны линии r в точке M равен обратной величине кривизны линии в этой точке:

Докажем, что производная орта касательной по длине дуги линии равна отношению орта главной нормали к радиусу кривизны этой линии:

.

Направление вектора D стремиться к направлению орта . Так как, когда точка M₁ стремиться к точке M, вектор D , оставаясь в соприкасающейся плоскости, стремится стать перпендикулярным вектору .

Величина вектора D , как основания равнобедренного треугольника, равна D =2 sin(e/2), но =1 – орт, следовательно, при Ds®0 D ®e.