Координатный способ задания движения точки

Уравнения движения точки в декартовых прямоугольных координатах имеют вид

(1)

Уравнения (1) являются также уравнениями траектории точки, заданными параметрически. Уравнение траектории в системе координат будет иметь вид функции рис. 1.6. Для получения этой зависимости следует из уравнений (1) исключить параметр .

Скорость точки. Модуль и направление скорости вычисляются так:

, ,

здесь ; .

Ускорение точки. Модуль и направление ускорения вычисляются так:

, ,

здесь , .

Справка Значения тригонометрических функций в смысле главного значения
радиан градус 0° 0,5 0,5

Задача 1.2. Движение точки M по плоскости задано уравнениями движения

(см). (а)

Задать движение точки в явном виде и построить траекторию движущейся точки.

Решение. Дляпостроения траектории движущейся точки в декартовой системе координат определим область, в которой движется точка, т.е. область значений и . Функции и - ограничены, т.е. , , получаем (см. рис. 1.7):

Исключим параметр t из уравнений движения (a). Для этого делим первое уравнение на 2, второе – на 4, возводим их в квадрат и складываем между собой:

+

________________________________

.

Учитывая, что , получим:

. (б)

Траекторией движущейся точки является эллипс (рис. 1.7). Подставляя в (а) , получаем:

(см).

Точка в начальный момент времени занимает положение . Определим направление движения точки. Уравнения движения заданы возрастающей функцией и убывающей функцией , поэтому при увеличении t координата «х» возрастает, а «у» убывает, следовательно, точка вращается по эллипсу по часовой стрелке (рис. 1.7).

Задача 1.3. Положение кривошипа ОА в кривошипно-ползунном механизме (рис. 1.8) определяется углом (рад). Вычислить скорость и ускорение точек А и В в моменты и , если см.

Решение. Декартовую систему координат совместим с точкой О кривошипа 0А (рис. 1.8).Движение каждой точки данного механизма можно задать координатным способом относительно выбранной системы отсчета, т.е. задать координаты - и каждой точки.

Рис. 1.8

Точка А движется по окружности, радиус которой равен длине кривошипа ОА, точка В – прямолинейно вдоль оси . Следовательно, в любой момент времени положение точки А определяется координатами , а движение точки В определяться координатой (рис. 1.9).

Имеем:

, тогда

.

Рис. 1.9

Вычислим скорость и ускорения точек А и В:

Скорость точки А:

(см/c).

Направление вектора скорости:

, .

Модуль скорости точки А в любом положении механизма остается величиной постоянной и равной (см/c). Направление вектора скорости (угол )зависит от положения кривошипа.

Скорость точки В:

Ускорение точки А:

(см/c).

Знаки , , следовательно, точка А вдоль оси движется ускоренно; , – точка А вдоль оси движется замедленно.

Направление вектора ускорения:

, .

Ускорение точки В:

Знаки , определяют направление движения точки В, т.е. точка В движется против оси ускоренно.

1. Вычислим положение механизма и кинематические характеристики точек при с.Положение механизма определяется углом . Для момента времени с,вычислим значение этого угла (рис. 1.10):

.

Справка: радиан; 1 радиан ; радиан.

Вычислим направление векторов скорости и ускорения точки А:

;

Рис.1.10

Вектор скорости направлен к оси кривошипа под углом , вектор ускорения направлен по оси кривошипа, угол между и равен (рис. 1.10).

Вычислим модули скороси и ускорения точки В:

см/c;

см/c²

Знаки производных: , показывают, что в заданный момент времени точка В движется против оси ускоренно (рис. 1.10).

2. Вычислим положение механизма и кинематические характеристики точек при , (рис. 1.11).

Рис. 1.11

( ).

Вычислим направление векторов скорости и ускорения точки А:

Справка Формулы приведения:

Вектор скорости направлен к оси кривошипа под углом , вектор ускорения направлен по оси кривошипа, угол между и равен (рис. 1.11).

Вычислим модули скороси и ускорения точки В:

Знаки , показывают, что в заданный момент времени точка В вдоль оси движется замедленно.

Ответ: см/c; см/c²;

: см/c; см/c²;

: см/c; см/c².

Задача 1.4. Точка движется в плоскости . Уравнение движения точки задано координатным способом:

, где и выражены в см, - в с. (а)

Требуется:

1. Построить траекторию движения точки в декартовой системе координат.

2. Вычислить положение точки в начальный момент времени , направление движения точки по траектории и положение точки на траектории при с.

3. Вычислить время цикла движения точки.

4. Вычислить вектор скорости при с.

5. Вычислить вектор ускорения точки при с.

Решение. 1. Построим траекторию движения точки.Дляэтого в декартовой системе координат определим область, в которой движется точка, т.е. область значений и . Функции и - ограничены, т.е. , , получаем (рис. 1.12):

; .

Получим зависимость . Для этого из уравнений (а) исключим параметр . Введём обозначение , тогда уравнения (а) перепишутся в виде

(б)

Распишем первое уравнение системы (б), используя формулу двойного угла ( ), приведем подобные члены и выразим через – , получим:

,

или

. (с)

Анализируемтраекторию движения точки. Траекторией точки является парабола с координатой вершины (-1;0); ветви параболы вытянуты вдоль оси (рис. 1.12).

Вычислим координаты точки при :

(см);

При функции и возрастают (рис. 1.12), точка М из положения начинает движение по верхней ветви параболы до положения ; далее при точка движется обратно по верхней ветви траектории до точки , и при продолжает движение по нижней ветви параболы до положения , далее при точка возвращается в первоначаьное положение т.е. завершает цикл, далее движение повторяется. Время одного цикла движения Точка совершает колебательные движения по параболе.

Рис. 1.12

Справка , если , тогда , , если , тогда , , если , тогда , , если , , тогда , , если , тогда , , если ,тогда , Здесь .

2. Вычислим координаты точки для фиксированного времени. Для этого подставим значение в (а) и вычислим соответствующие координаты:

при с: (см);

(см).

3. Вычислим скорость точки для с:

(см/c);

(см/c);

см/с;

, .

Откладываем проекции скорости и вектор на графике (рис. 1.13).

Рис. 1.13

4. Вычислим ускорение точки для с:

(см/c²);

(см/c²);

(см/c²);

,

Рис. 1.14

Откладываем проекции ускорения , и вектор на графике (рис. 1.14).

Ответ:

1. Точка движется по параболе в области

; .

2. Положение точки на траектории определяется координатами , ;

3. Скорость точки см/c; ускорение точки см/c².

Прямая задача-по заданному уравнению движения требуется вычислить скорость и ускорение точки:

.

Если и имеют один знак, то вектор скорости и вектор ускорения направлены в одну сторону, тогда движение будет ускоренным; если в противоположные – замедленным.

Задача 1.5. Прямолинейное движение точки М задано уравнением . Вычислить скорость и ускорение точки М в момент времени с.

Решение. Траекторией движения точки является отрезок на прямой (м) (рис. 1.15). Точка начинает движение вправо из координаты ( ) до координаты , далее вектор скорости меняет направление, и точка движется влево до координаты , и т.д. В момент времени с точка М имеет координату:

м.

Имеем: (м/с);

(м/с²).

Рис. 1.15

Знаки производных определяют направление векторов и , поэтому точка в этот момент времени движется замедленно, вектор скорости и вектор ускорения направлены по оси в противоположные стороны (рис. 1.15).

Ответ: (м/с); (м/с²).

Обратная задача - задано ускорение движущейся точки и требуется вычислить скорость точки и уравнение движения точки :

.

Ускорение точки связано со скоростью, скорость с координатой дифференциальными уравнениями:

, . (2)

При решении дифференциальных уравнений (2) разделяют переменные

, (3)

и интегрируют (3) с учетом начальных условий задачи, т.е. значений координаты и скорости в начальный момент времени:

Начальные условия задачи , – определяют нижние пределы интегрирования

.

При интегрировании уравнений (3) нижние пределы интегрирования соответствуют значениям интегрируемых величин в начальный момент времени, т.е. начальным условиям задачи, верхние пределы интегрирования соответствуютзначению интегрируемых величин при текущем времени t.

Задача 1.6. Точка движется вдоль оси с ускорением . В начальный момент времени ( ) , м/c. Вычислить скорость точки через с.

Решение. Ускорение и скорость точки связаны между собой дифференциальным уравнением с разделенными переменными:

. (а)

Начальные условия задачи: (м/c).

Подставив значение ускорения в (а), получим:

Взяв от обеих частей равенства определенный интеграл с учетом начальных условий задачи, получим величину скорости точки через с:

(м/с).

Ответ: (м/с).