Естественный способ задания движения точки. При естественном способе задания движения точки известно (рис

При естественном способе задания движения точки известно (рис. 1.16):

· траектория точки;

· начало и направление движения, т.е. направление увеличения дуговой координаты;

· уравнение движения где S – дуговая координата.

Скорость и ускорение точки.При естественном способе задания движения точки в плоскости применяют оси естественного трехгранника , , которые жестко связываются с точкой М и движутся вместе с ней. Плоскость , называется соприкасающейся плоскостью.

Скорость точки.Вектор скорости направлен по оси и вычисляется:

Ускорение точки.Вектор ускорения раскладывается на два вектора и (рис. 1.17):

.

Здесь: вектор – определяет касательную составляющую ускорения . Модуль касательного ускорения показывает изменение модуля скорости. Вектор при направлен в сторону вектора (ускоренное движение) (рис. 1.17, а), а при – против вектора (замедленное движение) (рис. 1.17, б);

а

б

Рис. 1.17

§ вектор ( – радиус кривизны траектории) – определяет нормальную составляющую ускорения. Модуль нормального ускорения определяет изменение направления вектора скорости . При прямолинейном движении = , , вектор при движении не меняет направление. При криволинейном движении точки нормальная составляющая ускорения всегда направлена внутрь вогнутости траектории вдоль оси (рис. 1.17).

Учитывая ортогональность и , имеем:

, .

Связь координатного и естественного способов заданий движения точки.Уравнение движения в естественной форме связано с уравнениями движения в координатной форме соотношением:

.

Здесь , . Тогда:

;

; .

Радиус кривизны может быть вычислен через модуль скорости и модуль нормального ускорения: .

Задача 1.7. Движение точки М задано уравнением:

(м). (а)

Вычислить путь , пройденный точкой М за 10 с.

Решение. Путь, пройденный точкой, вычислим по интегральной зависимости:

Согласно уравнению движения (а), имеем:

.

При с точка М меняет свое направление, поэтому путь , пройденный точкой за 10 с, будет вычисляться так:

(м).

Ответ: (м).

Задача 1.8. Движение точки в плоскости задано координатным способом уравнениями , :

	(а)
(б)

где и выражены в см, - в с.

Требуется задать движение точки в явном виде; вычислить скорость, нормальную и касательную составляющие ускорения, радиус кривизны траектории в соответствующей точке для момента времени с.

Решение. Дляпостроения траектории в декартовой системе координат определим область значений и . Функции и - ограничены, тогда область значений и определяетя неравенствами:

; .

Получим зависимость . Для этого из (а)–(б) исключим параметр . Введём обозначение , тогда уравнения (а) и (б) перепишутся в виде:

Распишем первое уравнение полученной системы, используя формулу двойного угла ( ), приведем подобные члены и выразим через :

.

Итак, координаты связаны между собой зависимостью

.

Анализируем траекторию движения точки. Траекторией точки является парабола с координатой вершины , ветви параболы вытянуты вдоль оси слева от вершины (рис. 1.18).

При функция убывает, а - возрастает (рис.1.18); следовательно, точка из положения начинает движение по верхней ветви параболы до точки , далее точка движется обратно по верхней ветви траектории и через точку с координатами движется по нижней ветви параболы до точки – и т.д.

В целом точка М совершает колебательные движения по построенной параболе в ограниченной пунктиром области. Направление движения в первые 2 с указано стрелкой на рис. 1.18.

Вычислим положение точки на траектории при с:

(см);

(см).

а

б

Рис. 1.19

2.Вычислим скорость точки при с.

(см/с);

(см/с);

(см/с).

Cправка. Формулы приведения: ; .

Значения и отложим в масштабе на графике (рис. 1.19, а). Вектор скорости точки является диагональю параллелограмма, достроенного на этих векторах, и определяет направление движения точки, а также определяет направление и положение касательной оси .

Вычислим ускорение точки при с:

(см/с²);

(см/с²);

(см/с²).

Вектор ускорения точки – - получаем построением параллелограмма на проекциях ускорений и в выбранном масштабе (рис. 1.19, б).

Как видно из рис. 1.19, в вектор полного ускорения точки направлен внутрь вогнутости траектории движения точки.

Касательная и нормальная составляющие ускорения точки. При координатном способе задания движения указанные составляющие ускорения рассчитываются по формулам:

(см/с²);

(см/с²).

Касательное и нормальное ускорения точки можно вычислить геометрически. Для этого в точке необходимо построить оси естественного трехгранника и . Положение и направление оси определили ранее - по построенному вектору скорости точки . Перпендикулярно этой оси, в сторону вогнутости траектории, проведём главную нормаль (полуось). Отложим в масштабе проекции и и построим вектор (рис. 1.20).

Проекция вектора ускорения на ось будет соответствовать касательной составляющей ускорения . Измеряя длину указанного вектора и умножая на масштаб, получим значение ; в данном случае (см/с²). Вектор совпадает по направлению с вектором скорости точки , следовательно, движение точки по параболе в данный момент времени – ускоренное.

Соответственно, проекция на ось будет определять нормальное ускорение . Измеряя длину полученной проекции и умножая на масштаб, получим значение ; в данном случае (см/с²).

Получено достаточно хорошее соответствие значений и , рассчитанных разными способами.

Радиус кривизны траектории.

Вычисим радиус кривизны траектории. Имеем:

откуда: (см).

Вычислим уравнение движения точки, заданное естественном способом – .

Имеем:

.

Получили уравнение движения точки, заданное естественным способом в интегральном виде.

Ответ: уравнение траектории точки в явном виде ; скорость точки (см/с); ускорения точки (см/с²), (см/с²), (см/с²); радиус кривизны траектории см; .

Задача 1.9. Движение точки в плоскости задано координатным способом уравнениями:

(см), (а)

(см). (б)

Требуется задать движение точки в явном виде, вычислитьскорость, нормальную и касательную составляющие ускорения, радиус кривизны траектории в соответствующей точке для момента времени с.

Решение. Дляпостроения траектории в декартовой системе координат определим область значений и . Имеем из (а) и (б):

, . (с)

Уравнения движения точки (а)–(б) заданы параметрически, т.е. координаты x и y зависят от параметра . Чтобы записать уравнение траектории в декартовой системе координат, из заданных уравнений необходимо исключить параметр .

Из (а) получаем , подставляем в (б):

.

Таким образом, получили уравнение траектории:

.

Рис. 1.21

Траекторией движения точки является отрезок прямой, распложенной в области , . Движение точки прямолинейное. Строим траекторию. Для этого достаточно знать координаты двух точек: при , (см); при , (см). При точка из начального положения начинает движение по отрезку (рис. 1.21). Направление движения отмечено стрелкой на траектории. При (с): (см), (см).

Обозначим положение точки при (с) через , рис. 1.21.

Скорость и ускорения точки при с:

(см/с), (см/с).

Значение скорости точки не зависит от времени , т.е. точка движется с постоянной скоростью:

(см/с).

Полученные значения и отложим на графике (рис. 1.21) в масштабе. Вектор скорости точки является диагональю параллелограмма, достроенного на значениях и .

Ускорение точки при с:

, ; .

Прямолинейное движение точки является равномерным.

При прямолинейном движении нормальное ускорение .

Радиус кривизны траектории:

.

Вычислим уравнения движения при естественном способе :

.

Ответ: уравнение траектории в декартовой системе координат: ; скорость точки (см/с); ускорения точки , , ; радиус кривизны траектории ; .