Ускорение при плоском движении твердого тела

Ускорение какой-либо точки тела при его плоском движении равно векторной сумме ускорения полюса и ускорения этой точки при вращательном движении тела вокруг полюса:

.

Здесь: – ускорение полюса;

– ускорение точки В при ее вращении вместе с телом вокруг полюса А:

нормальная составляющая ускорения направлена по нормали, т.е. по АВ к полюсу А, и равна ;

касательная составляющая ускорения направлена ^ АВ в сторону дуговой стрелки и равна

Задача 4.3.Кривошип ОА длиной 60 см вращается ускоренно относительно оси О и приводит в движение ролик 1 радиусом см, который катится без скольжения по неподвижному колесу 2 (рис. 4.9). Параметры вращения кривошипа в данный момент времени с^-1, с^-2. Вычислить угловую скорость и угловое ускорение ролика, вычислить скорость и ускорение точки В, находящейся на ролике на расстоянии 10 см от точки А.

Рис. 4.9

Решение. Кривошип ОА совершает вращательное движение относительно оси, проходящей через неподвижный центр О. Скорость и ускорение точки А кривошипа вычисляют по формулам

(см/с);

.

Подвижный ролик движется плоскопараллельно. Вычислим и подвижного ролика. Плоское движение ролика можно привести к мгновенно-вращательному движению относительно мгновенного центра скоростей (МЦС), этим центром является точка касания Р (рис. 4.10).

Запишем уравнение связи между движениями кривошипа и ролика. Точка А одновременно принадлежит кривошипу ОА и ролику 1. Следовательно, перемещение точки А:

, т.е. .

Угловая скорость и угловое ускорение ролика 1 тогда вычисляются:

(с^-1);

(с^-2).

Рис. 4.10

Угол вращения ролика относительно точки Р (точка МЦС) совпадает с углом вращения кривошипа (рис. 4.9). Направления вращения и ролика 1 совпадают, отмечаем их дуговыми стрелками; следовательно, движение ролика 1 является ускоренным, как и кривошипа ОА.

Скорость точки В.

Точка В находится на ролике 1, следовательно, её скорость определяется как скорость точки, вращающейся вокруг МЦС, т.е. точки Р:

.

Из геометрии задачи определим по теореме косинусов расстояние ВР:

(см).

Тогда скорость точки В:

(см/с).

Вектор перпендикулярен отрезку ВР и направлен в сторону вращения ролика (рис. 4.10).

Ускорение точки В.

Ускорение точки В складывается из ускорения полюса и ускорения точки В при её вращении вместе с роликом вокруг этого полюса. За полюс примем точку А, т.к. её ускорение известно.

Тогда ускорение точки В запишется (рис. 4.11):

.

а		б
Рис. 4.11

Здесь:

(см/с²) - нормальная составляющая ускорения полюса, направлена от точки А к центру О;

(см/с²) - касательная составляющая ускорения полюса, направлена перпендикулярно в сторону углового ускорения кривошипа ОА - ;

(см/с²) - ускорения точки В при её вращении относительно полюса А; вектор перпендикулярен АВ и направлен по направлению дуговой стрелки ;

(см/с²), вектор направлен по отрезку АВ от точки В к точке А.

Выражение для расчета ускорения точки В записано в векторной форме. Для аналитических вычислений необходимо спроецировать это векторное равенство на две оси координат, тогда теорема примет вид

, где

(см/с²);

(см/с²).

Модуль ускорения точки В вычислим по формуле

(см/с²).

Для определения направления вектора полного ускорения точки В строится параллелограмм на его проекциях и , диагональ этого параллелограмма и будет вектором ускорения точки В (рис. 4.11).

Ответ: (с^-1), (с^-2); (см/с); (см/с²).

Задача 4.4. В кривошипно-шатунном механизме кривошип ОА длиной 40 см вращается замедленно относительно центра О, с угловой скоростью с^-1 и угловым ускорением с^-2 (рис. 4.12), и приводит в движение шатун АВ длиной 80 см.

Рис. 4.12

Вычислить:

1. скорость и ускорение точки В ползуна;

2. скорость и ускорение точки С, расположенной на шатуне АВ на расстоянии см.

Решение. В кривошипно-шатунном механизмекривошип ОА вращается относительно центра О, шатун АВ движется плоскопараллельно, ползун В движется поступательно.

Точка А одновременно принадлежит и кривошипу ОА, и шатуну АВ. Рассматривая вращение кривошипа, скорость точки А рассчитываем по формуле:

(см/с).

Вектор скорости перпендикулярен кривошипу ОА и направлен в сторону угловой скорости кривошипа. Вектор скорости точки В шатуна направлен вдоль направляющих ползуна, в данном случае - по горизонтали (рис. 4.12).

Заменим плоское движение шатуна АВ мгновенно-вращательным относительно мгновенного центра скоростей (МЦС). Для нахождения МЦС восстановим перпендикуляры к построенным векторам скоростей и , на их пересечении будет находиться МЦС шатуна - точка Р (рис. 4.13, а).

а		б
Рис. 4.13

Направление мгновенного вращения шатуна АВ вокруг МЦС - - определяем по направлению вектора .

Величина угловой скорости шатуна рассчитывается:

, откуда:

, .

Если положение кривошипно-шатунного механизма фиксировано и начерчено в масштабе, то расстояния ВР и СР измеряются с чертежа линейкой. В общем случае рассматривают геометрию задачи (рис. 4.13, б).

Для вычисления расстояний АР, ВР, СР рассмотрим треугольники ОАВ и ОРВ:

из по теореме синусов:

;

; , ;

из по теореме синусов:

; ;

см.

В прямоугольном треугольнике угол ОРВ равен , поэтому гипотенуза ОР равна удвоенному произведению катета ОВ, лежащего против угла :

см, тогда см.

По теореме Пифагора расстояние ВР:

см.

Расстояние СР определяется из по теореме косинусов, с учетом угла :

см.

Угловая скорость шатуна АВ, скорости точек В и С вычисляют следующим образом:

,

откуда с^-1;

(см/с),

(см/с).

Вектор скорости перпендикулярен отрезку РС и направлен в сторону мгновенного вращения шатуна (рис. 4.13, а).

Рассчитываем ускорение точки В ползуна. Принимаем точку А шатуна за полюс, тогда

. (а)

Здесь (рис. 4.14, а):

- ускорение полюса А:

(см/с²) ;

(см/с²);

- ускорение точки В при ее вращении вокруг полюса А:

(см/с²),

.

Вектор направлен по шатуну АВ от точки В к точке А; вектор располагаем перпендикулярно шатуну АВ.

Сводим вектора , , , в точку В (рис. 4.14, б).

а	б

Рис. 4.14

Ускорение точки В определяется векторным уравнением:

. (б)

Таким образом, получили векторное равенство с двумя неизвестными: и .

Вычислить и можно двумя способами - аналитическим и геометрическим. Рассмотрим каждый из указанных способов.

Аналитический способ. Начало декартовой системы координат совместим с точкой В, ось с осью ползуна, ось перпендикулярна оси ползуна (рис. 4.14, б). Вектор ускорения ползуна направлен вдоль оси , поэтому проекция вектора на ось равна нулю:

– из (б) получаем:

, ;

;

с^-2;

(см/с²);

(см/с²).

Здесь , .

Вычислим ускорение точки С. Положительный знак означает, что выбранное на схеме направление этого вектора совпадает с истинным. Следовательно, угловое ускорение шатуна направлено против часовой стрелки (рис. 4.15, а).

а	б

Рис. 4.15

Ускорение точки С:

,

где (см/с²),

(см/с²).

Спроецируем записанное векторное равенство на оси и Сy (рис. 4.14, б):

(см/с²);

(см/с²).

Модуль ускорения точки С:

(см/с²).

Геометрический (графический) способ

Рис. 4.16

Ускорение ползуна В можно получить построением многоугольника ускорений (рис. 4.16). Для этого в принятом масштабе откладываем из точки В ускорение , далее, перпендикулярно ему, откладываем касательную составляющую ускорения полюса , под углом к горизонту откладываем ускорение , из его конца проводим пунктирную прямую, перпендикулярную (параллельную неизвестному ускорению ) до пересечения с осью , по которой направлен вектор ускорения ползуна В. Точка пересечения пунктирной прямой и осью определяет вектора и . Вектор замыкает многоугольник (рис. 4.16).

Измеряем длины этих векторов и с учетом масштаба получаем соответственно:

(см/с²), (см/с²).

Для вычисления ускорения точки С – середины шатуна АВ – соединим концы ускорений точек А и В (рис. 4.16) отрезком , разделим его пополам точкой и, соединив точки С и , получим вектор ускорения середины шатуна . Замерив его с учетом масштаба, получим (см/с²).

Ответ: с^-1, с^-2; (см/с), (см/с);

(см/с²), (см/с²).

Задача 4.5. Вычислить аналитически и графически ускорение шарнира В шарнирного параллелограмма в его данном положении (рис. 4.17 а), если кривошип см вращается равномерно относительно центра О с угловой скоростью с^-1; длины звеньев см, см.

а		б
Рис. 4.17

Решение. Вычислим угловые скорости звеньев - – и - :

, ;

, ,

Здесь точка Р - точка мгновенного центра скоростей шатуна АВ. Его положение определяется точкой пересечения перпендикуляром к векторам скоростей точек А и В (рис. 4.17, б).

Из определяем расстояния составляют: см; см; тогда:

(с^-1);

(с^-1).

Аналитический способ

Применим теорему об ускорениях при плоском движении тела к точке В. За полюс выбираем точку А, ускорение в этой точке известно:

(см/с²);

тогда: , (а)

здесь (см/с²);

В полученном векторном уравнении (а) три неизвестных: модуль и направление ускорения в точке В - и угловое ускорение шатуна АВ - ( ).

Для решения задачи необходимо записать еще одно уравнение. За второй полюс выберем точку , , тогда (рис. 4.17 б):

, (б)

здесь (см/с²);

В полученном векторном равенстве (б) тоже три неизвестных: модуль и направление ускорения в точке В - и угловое ускорение кривошипа - ( ).

Получили систему уравнений:

(в)

Исключим вектор из (в). Для этого приравняем правые части уравнений (в) между собой, получим следующее векторное уравнение, которое будет содержать только две неизвестные величины – и :

. (г)

Совместим с точкой В начало декартовой системы координат (рис. 4.18, а), и спроецируем равенство (г) на эти оси:

; (1)

. (2)

Получили систему двух скалярных уравнений с двумя неизвестными: и . Решая последовательно уравнения (1-2), получаем:

(см/с²);

(см/с²).

а		б
Рис. 4.18

Знак (-) модуля показывает, что истинное направление этого вектора противоположно выбранному на схеме (рис. 4.18, б).

Вычислим ускорение точки В:

(см/с²).

Направление вектора получаем построением параллелограмма на векторах и (рис. 4.18, б).

Графический (геометрический) способ

Ускорение шарнира В получим построением многоугольника ускорений (рис. 4.19). Рассмотрим векторное равенство (г):

,

здесь:

(см/с²), (см/с²), (см/с²).

В выбранном масштабе откладываем из точки В, параллельно ОА, ускорение . Из конца этого вектора в том же масштабе, параллельно оси звена АВ, откладываем нормальную составляющую ускорения , и из его конца проводим пунктирную прямую I-I, перпендикулярную (параллельную неизвестному ускорению ). Затем из точки В, в том же масштабе, откладываем нормальную составляющую ускорения - вдоль звена ВС, из конца этого вектора проводим перпендикулярную ему пунктирную прямую II-II, параллельную неизвестному ускорению (рис. 4.19).

Рис. 4.19

Обозначим точку пересечения прямых I-I и II-II буквой D. Соединим точку В и точку D, полученная прямая соответствует ускорению точки В - ; прямая соответствует ускорению ; прямая соответствует ускорению . Замеряем длину отрезков, с учетом принятого масштаба, получаем:

(см/с²); (см/с²); см/с²).

Результаты получены двумя разными способами, хорошо согласуются друг с другом.

Ответ: (см/с²).