Задача К2

Механизм состоит из ступенчатых колес 1−3, находящихся в зацеплении или связанных ременной передачей; зубчатой рейки 4 и груза 5, привязанного к концу нити, намотанной на одно из колес (рис. К2.0−К2.9, табл. К2). Радиусы ступеней равны соответственно: у колеса 2 – r₂ = 6 см; R₂ =8 см; у колеса 3 – r₃ = 12 см; R₃ = 16 см. На ободах колес расположены точки А, В, и С.

В столбце «Дано» таблицы указан закон движения или закон изменения скорости ведущего звена механизма, где: − закон вращения колеса 1; s₄(t) – закон движения рейки 4; ω₂(t) – закон изменения угловой скорости колеса 2; v₁(t) – закон изменения скорости груза 1 и т.д. (везде φ выражено в радианах; s − в сантиметрах; t – в секундах). Положительное направление для φ и ω −против хода часовой стрелки; для s₄, и v₄, – вниз.

Определить в момент времени t₁ = 2 c указанные в таблице в столбцах «Найти» скорости (v – линейные, ω – угловые) и ускорения (а – линейные, ε – угловые) соответствующих точек или тел (v₁ – скорость груза 1 и т.д.).

Указания. Задача К2 – на исследование вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. При решении задачи учесть, что, когда два колеса находятся в зацеплении, скорость точки зацепления каждого колеса одна и та же, а когда два колеса связаны ременной передачей, то скорости всех точек ремня и, следовательно, точек, лежащих на ободе каждого из этих колес, в данный момент времени численно одинаковы; при этом считается, что ремень по ободу колеса не скользит.

Таблица К2

Пример К2. Рейка 1, ступенчатое колесо 2 с радиусами R₂ и r₂ и колесо 3 радиуса R₃, скрепленное с валом радиуса r₃, находятся в зацеплении; на вал намотана нить с грузом 4 на конце (рис. К2). Рейка движется по закону s₁=f(t).

Дано: R₂=6 см, r₂=4 см, R₃=8 см, r₃=3 см, s₁=3t³ (s- в сантиметрах, t – в секундах), А – точка обода колеса 3, t₁ = 3 c. Определить: ω₃, v₄, ε₃, α_A в момент времени t = t₁.

Решение. Условимся обозначать скорости точек, лежащих на внешних ободах колес (радиуса R_i), через v_i, а точек, лежащих на внутренних ободах (радиуса r_i), - через u_i.

1. Определим сначала угловые скорости всех колес как функции времени t. Зная закон движения рейки 1, находим ее скорость

v₁ = ds₁/dt = 9t². (1)

Т. к. рейка 1 и колесо 2 находятся в зацеплении, то v₂ = v₁ , или ω₂R₂ = v₁. Но колеса 2 и 3 тоже находятся в зацеплении, следовательно, u₂ = v₃, или ω₂R₂ = ω₃R₃. Из этих равенств находим:

Тогда для момента времени t₁ = 3 c получим ω₃ = 6,75c^-1.

2. Определим v₄. Т. к. v₄ = v_B = ω₃r₃, то при t₁ = 3 c: v₄ = 20,25 см/с.

3. Определяем ε₃. Учитывая, что ε₃= =1,5t, при t₁ =3 с получим ε₃ = 4,5 с^-2.

4. Определяем a_A. Для т. А: , где численно Тогда, для момента времени t₁ = 3 с, имеем:

Все скорости и ускорения точек, а также направления угловых скоростей показаны на рис. К2.