Скаляры и векторы

КИНЕМАТИКА И ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО

И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Методические указания по решению задач

Омск 2004

Составители: Н.В. Бердинская

В.О. Нижникова

С.С. Ясько

Рассматриваются теоретические вопросы разделов кинематики и динамики поступательного и вращательного движений. После теоретических вопросов приведены примеры решения задач по данной теме и в заключении представлены семь блоков задач по тридцать вариантов в каждом блоке для самостоятельного решения в качестве домашних заданий.

Предназначены для студентов дневного и вечернего обучения всех технических специальностей.

Печатается по решению редакционного издательского совета Омского государственного технического университета.

Механика материальной точки

Скаляры и векторы

В физике широко используются скалярные и векторные величины.

Скалярной называется величина, каждое значение которой выражается одним числом в любой системе координат (длина, время, масса и т.п.).

Вектором называется величина, определяемая числовым значением и направлением в пространстве (скорость, сила, напряженность и т.п.).

Длина вектора, измеренная в определенном масштабе, называется модулем вектора.

Любой вектор можно представить в виде произведения его модуля на единичный вектор .

Единичные векторы, направленные вдоль координатных осей, принято обозначать: ; ; .Они называются ортами.

Пусть известен угол α между некоторой осью Ох и вектором . Опустим перпендикуляр из конца вектора на эту ось (рис. 1.1.).

К х

Рис. 1.1

Величина называется проекцией вектора на ось Ох. Знак проекции определяется знаком cosα, а ее численное значение равно длине отрезка ОК.

Если в пространстве задана прямоугольная система координат, то проекции вектора на координатные оси обозначаются , , . (рис. 1.2.)

у

х

z

Рис. 1.2

Любой вектор может быть представлен в виде суммы трех векторов:

. (1.1)

Модуль вектора в этом случае равен

. (1.2)

Суммой двух векторов и называется вектор = + . – результирующий вектор; и – составляющие векторы (рис. 1.3).

Рис. 1.3

Для определения результирующего вектора перемещаем вектор парал-лельно самому себе так, чтобы его начало совпадало с концом вектора . Из начала вектора к концу вектора проводим вектор .

В физике широко используются два вида произведений векторов: скалярное и векторное.

Скалярное произведение двух векторов и - это скалярная величина, численно равная произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними:

.

Векторным произведением векторов и является вектор , модуль которого равен произведению модулей этих векторов на синус угла между ними.

Направление вектора перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы и , так, что если смотреть с его конца, то кратчайший поворот от к будет происходить против часовой стрелки (рис. 1.4).

Рис. 1.4