![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Собственные числа и собственные вектораДля анализа внутренней структуры линейного преобразования целесообразно найти вектора, которые данное преобразование изменяет наиболее просто. Таким свойством обладают собственные вектора матрицы, удовлетворяющие соотношению
где l - коэффициент, показывающий изменения длины вектора, т.е. образ вектора совпадает с прообразом по направлению и отличается от него лишь длиной. Умножим представленное соотношение слева на единичную матрицу E и перенесем все члены в левую часть. Матрица Для вычисления вектора Для того чтобы найти значение числа l, при котором определитель
Известно, что решением уравнения степени nявляется n значений Пусть в качестве базиса принята совокупность собственных векторов
Если собственные числа li различны, то собственные вектора Таким образом, в базисе из линейно-независимых собственных векторов матрица линейного преобразования преобразует вектор путем растяжения, сжатия или разворота (l<0) координат вектора (умножение проекций на соответствующие собственные числа). Пример: Найти собственные числа и собственные вектора матрицы Характеристическая матрица Приравнивая нулю определитель матрицы
Вычисление собственных векторов. Первый собственный вектор
Последнее матричное уравнение эквивалентно системе:
Нетрудно видеть, что уравнения линейно-зависимы, следовательно, любое из них, например второе, можно удалить. Тогда
Отбрасываем второе уравнение, задав
Найденные вектора представлены на рис. 7.7.
Т.к. матрица А симметрична, то исходный ортонормированный базис преобразуется в ортогональный (можно сделать ортонормированным, поделив каждый вектор нового базиса на его длину). Рассмотрим некоторый вектор В результате получаем вектор большей длины, расположенный под углом с исходным вектором Тот же вектор
Если взять множество векторов, лежащих концами на единичной окружности, то матрица линейного преобразования будет в 3 раза вытягивать проекции на вектор
|